Для решения данного уравнения, нам понадобится использовать метод вариации постоянных. Этот метод основан на предположении о том, что решение линейного однородного уравнения может быть представлено в виде умноженной на функции неизвестного коэффициента. В итоге, мы получим систему дифференциальных уравнений, решением которой будет искомая функция.
Шаг 1: Решение однородного уравнения
Для начала, найдем решение однородного уравнения y"-3у'-2у=0. Для этого заменим в уравнении все неизвестные коэффициенты на произвольные постоянные, например, a и b.
y"_h - 3y'_h - 2y_h = 0
Теперь найдем общее решение этого уравнения в виде y_h = e^rx, где r - неизвестная константа.
Подставим это выражение в уравнение и получим:
r^2e^rx - 3re^rx - 2e^rx = 0
Так как e^rx не равняется нулю для любых значений x, то мы можем сократить его:
r^2 - 3r - 2 = 0
С помощью факторизации или формулы квадратного корня найдем значения r:
(r-2)(r+1) = 0
Отсюда получаем два корня: r1 = 2 и r2 = -1.
Теперь, используя найденные корни, составим общее решение однородного уравнения:
y_h = C1e^2x + C2e^(-x),
где C1 и C2 - произвольные постоянные.
Шаг 2: Поиск частного решения
Для поиска частного решения исходного неоднородного уравнения y"-3у'-2у=-4xe^x, предположим, что y_p = Ax^2e^x, где A - неизвестная константа.
Теперь, сравнивая коэффициенты при e^x слева и справа, получаем систему уравнений:
-10x - 5Ax^2 = -4x
-5Ax^2 - 10x = -4x
Решая эту систему, получаем:
A = 1/5
Таким образом, частное решение y_p = (1/5)x^2e^x.
Шаг 3: Общее решение неоднородного уравнения
Теперь, объединим общее решение однородного уравнения и частное решение:
y = y_h + y_p
y = C1e^2x + C2e^(-x) + (1/5)x^2e^x,
где C1 и C2 – произвольные постоянные.
Вот и все! Мы нашли общее решение уравнения y"-3у'-2у=-4xe^x, представленное в виде линейной комбинации общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
Шаг 1: Решение однородного уравнения
Для начала, найдем решение однородного уравнения y"-3у'-2у=0. Для этого заменим в уравнении все неизвестные коэффициенты на произвольные постоянные, например, a и b.
y"_h - 3y'_h - 2y_h = 0
Теперь найдем общее решение этого уравнения в виде y_h = e^rx, где r - неизвестная константа.
Подставим это выражение в уравнение и получим:
r^2e^rx - 3re^rx - 2e^rx = 0
Так как e^rx не равняется нулю для любых значений x, то мы можем сократить его:
r^2 - 3r - 2 = 0
С помощью факторизации или формулы квадратного корня найдем значения r:
(r-2)(r+1) = 0
Отсюда получаем два корня: r1 = 2 и r2 = -1.
Теперь, используя найденные корни, составим общее решение однородного уравнения:
y_h = C1e^2x + C2e^(-x),
где C1 и C2 - произвольные постоянные.
Шаг 2: Поиск частного решения
Для поиска частного решения исходного неоднородного уравнения y"-3у'-2у=-4xe^x, предположим, что y_p = Ax^2e^x, где A - неизвестная константа.
Дифференцируя два раза, получим:
y_p" = 2e^x + 2xe^x
y_p' = 2xe^x + 2xe^x + Ax^2e^x = 4xe^x + Ax^2e^x
Подставим эти значения в исходное уравнение:
(4xe^x + Ax^2e^x) - 3(4xe^x + Ax^2e^x) - 2(Ax^2e^x) = -4xe^x
Раскрываем скобки:
4xe^x + Ax^2e^x - 12xe^x - 3Ax^2e^x - 2Ax^2e^x = -4xe^x
Группируем похожие слагаемые:
(4x - 12x - 3Ax^2 - 2Ax^2)e^x = -4xe^x
(-10x - 5Ax^2)e^x = -4xe^x
Теперь, сравнивая коэффициенты при e^x слева и справа, получаем систему уравнений:
-10x - 5Ax^2 = -4x
-5Ax^2 - 10x = -4x
Решая эту систему, получаем:
A = 1/5
Таким образом, частное решение y_p = (1/5)x^2e^x.
Шаг 3: Общее решение неоднородного уравнения
Теперь, объединим общее решение однородного уравнения и частное решение:
y = y_h + y_p
y = C1e^2x + C2e^(-x) + (1/5)x^2e^x,
где C1 и C2 – произвольные постоянные.
Вот и все! Мы нашли общее решение уравнения y"-3у'-2у=-4xe^x, представленное в виде линейной комбинации общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.