Х=-4; х=0; х=4 - точки, в которых подмодульное выражение меняет знак. Эти точки разбивают числовую прямую на 4 промежутка. Раскрываем знак модуля на каждом промежутке:
(-∞;-4] |x|=-x |x·(4+x)|=x(4+x) Уравнение принимает вид: х(4+х)=2 х²+4х-2=0 D=16+8=24 x₁=-2-√6 х=-2+√6∉(-∞;-4], потому не является корнем данного уравнения
(-4;0] |x|=-x |x·(4+x)|=-x(4+x) Уравнение принимает вид: -х(4+х)=2 х²+4х+2=0 D=16-8=8 x₂=-2-√2 х₃=-2+√2 оба корня принадлежат промежутку (-4;0]
(0;4] |x|=x |x·(4-x)|=x(4-x) Уравнение принимает вид: х(4-х)=2 х²-4х+2=0 D=16-8=8 x₄=2-√2 х₅=2+√2 оба корня принадлежат промежутку (0;4]
(4;+∞) |x|=x |x·(4-x)|=-x(4-x) Уравнение принимает вид: -х(4-х)=2 х²-4х-2=0 D=16+8=24 x₆=2+√6 х=2-√6 не принадлежит промежутку (4;+∞), потому не является корнем данного уравнения
О т в е т. Уравнение имеет 6 корней x₁=-2-√6; x₂=-2-√2; х₃=-2+√2; x₄=2-√2; х₅=2+√2; x₆=2+√6.
Графический Строим графики у=|x(4-|x|)| и у=2. См. рис. в приложении.
Пусть двухрублевых монет х штук, а пятирублевых у штук, тогда по условию задачи 2х+5у=28. Решим это уравнение в целых числах. 2х=28-5у. В левой части чётное число, так как оно кратно 2, значит, чтобы х было целым числом, нужно, чтобы и в правой части было чётное число. Правая часть - это разность четного числа 28 и неизвестного произведения 5у. Чтобы всё выражение в правой части было четным числом, нужно, чтобы 5у было четным, так как разность двух чётных чисел есть чётное число. 5у может быть четным только если у будет четным, так как произведение чётного и нечётного есть чётное число. Получим у может быть равным либо 2, либо 4, равным 6 и более у быть не может, иначе разность 28-5у становится отрицательной. Тогда при у=2: 2х=28-5*2 => 2х=18 => х=9; при у=4: 2х=28-5*4 => 2х=8 => х=4. Значит, двухрублевых монет либо 9, либо 4 штуки. ответ: 9 или 4.
Эти точки разбивают числовую прямую на 4 промежутка.
Раскрываем знак модуля на каждом промежутке:
(-∞;-4]
|x|=-x
|x·(4+x)|=x(4+x)
Уравнение принимает вид:
х(4+х)=2
х²+4х-2=0
D=16+8=24
x₁=-2-√6
х=-2+√6∉(-∞;-4], потому не является корнем данного уравнения
(-4;0]
|x|=-x
|x·(4+x)|=-x(4+x)
Уравнение принимает вид:
-х(4+х)=2
х²+4х+2=0
D=16-8=8
x₂=-2-√2 х₃=-2+√2
оба корня принадлежат промежутку (-4;0]
(0;4]
|x|=x
|x·(4-x)|=x(4-x)
Уравнение принимает вид:
х(4-х)=2
х²-4х+2=0
D=16-8=8
x₄=2-√2 х₅=2+√2
оба корня принадлежат промежутку (0;4]
(4;+∞)
|x|=x
|x·(4-x)|=-x(4-x)
Уравнение принимает вид:
-х(4-х)=2
х²-4х-2=0
D=16+8=24
x₆=2+√6
х=2-√6 не принадлежит промежутку (4;+∞), потому не является корнем данного уравнения
О т в е т. Уравнение имеет 6 корней
x₁=-2-√6; x₂=-2-√2; х₃=-2+√2; x₄=2-√2; х₅=2+√2; x₆=2+√6.
Графический
Строим графики
у=|x(4-|x|)| и у=2.
См. рис. в приложении.