Для определения наибольшего значения функции y = x^4 + x^2 на луче [0;+∞), необходимо найти точку экстремума. Для этого нужно найти первую производную функции и приравнять ее к нулю:
y' = 4x^3 + 2x = 0
Факторизуем это выражение:
2x(2x^2 + 1) = 0
Из этого уравнения получаем две стационарные точки:
x = 0 и x = ±sqrt(-1/2)
Так как мы рассматриваем только положительные значения x на луче [0;+∞), отбрасываем стационарную точку x = -sqrt(-1/2).
Теперь подставим найденные стационарные точки и крайние значения отрезка [0;+∞) в исходную функцию, чтобы определить наибольшее значение y:
Для x = 0:
y = (0)^4 + (0)^2 = 0
Для x = sqrt(-1/2):
y = (sqrt(-1/2))^4 + (sqrt(-1/2))^2 = (1/2)^2 + 1/2 = 1/4 + 1/2 = 3/4
Таким образом, наибольшее значение функции на луче [0;+∞) равно 3/4.
Ответ: yнаиб = 3/4
Ответ на вторую часть вопроса: Стационарных точек функции y = x^4 + x^2 нет.
Подведем итог:
Наибольшее значение функции y = x^4 + x^2 на луче [0;+∞) равно 3/4. Стационарных точек функции нет.
y' = 4x^3 + 2x = 0
Факторизуем это выражение:
2x(2x^2 + 1) = 0
Из этого уравнения получаем две стационарные точки:
x = 0 и x = ±sqrt(-1/2)
Так как мы рассматриваем только положительные значения x на луче [0;+∞), отбрасываем стационарную точку x = -sqrt(-1/2).
Теперь подставим найденные стационарные точки и крайние значения отрезка [0;+∞) в исходную функцию, чтобы определить наибольшее значение y:
Для x = 0:
y = (0)^4 + (0)^2 = 0
Для x = sqrt(-1/2):
y = (sqrt(-1/2))^4 + (sqrt(-1/2))^2 = (1/2)^2 + 1/2 = 1/4 + 1/2 = 3/4
Таким образом, наибольшее значение функции на луче [0;+∞) равно 3/4.
Ответ: yнаиб = 3/4
Ответ на вторую часть вопроса: Стационарных точек функции y = x^4 + x^2 нет.
Подведем итог:
Наибольшее значение функции y = x^4 + x^2 на луче [0;+∞) равно 3/4. Стационарных точек функции нет.