Область допустимых значений (ОДЗ): x >= -4. x - 4*V(x + 4) - 1 < 0 ( V - корень квадратный). x - 1 < 4*V(x + 4) Правая часть неравенства <= 0 для всех х из ОДЗ, левая часть < 0 при x < 1, то есть неравенство выполняется при x < 1, с учетом ОДЗ получаем -4 <= х < 1. Пусть x >= 1. Возведем обе части неравенства в квадрат (x - 1)^2 < 16*(x + 4) x^2 - 2*x + 1 < 16*x + 64 x^2 - 18*x - 63 < 0 Равенство верно на интервале между корнями уравнения. Корни х1 = -3, х2 = 21, неравенство выполняется для -3 < х < 21, с учетом x >= 1 получаем 1 <= х < 21. Объединяем условия -4 <= х < 1 и 1 <= х < 21, получаем ответ: -4 <= х < 21.
Объяснение:
7tg^2 x + 3tg x + 2cos^2 x - 7cos x + 1 = 0
Можно применить универсальную тригонометрическую подстановку.
t = tg(x/2), тогда
, 
. Подставляем:
Приводим к общему знаменателю (1-t^2)^2*(1+t^2)^2:
Избавляемся от дробей:
28t^2(1+2t^2+t^4) + 6(t-t^3)(1+2t^2+t^4) + 2(1-2t^2+t^4)(1-2t^2+t^4) -
- 7(1+t^2)(1-3t^2+3t^4-t^6) + (1-2t^2+t^4)(1+2t^2+t^4) = 0
Раскрываем скобки:
28t^2 + 56t^4 + 28t^6 + 6t - 6t^3 + 12t^3 - 12t^5 + 6t^5 - 6t^7 + 2 - 4t^2 + 2t^4 -
- 4t^2 + 8t^4 - 4t^6 + 2t^4 - 4t^6 + 2t^8 - 7 - 7t^2 + 21t^2 + 21t^4 - 21t^4 - 21t^6
+ 7t^6 + 7t^8 + 1 - 2t^2 + t^4 + 2t^2 - 4t^4 + 2t^6 + t^4 - 2t^6 + t^8 = 0
Приводим подобные:
t^8*(2+7+1) - 6t^7 + t^6*(28-4-4-21+7+2-2) - 6t^5 + t^4*(56+2+8+2+21-21+1-4+1)
+ 6t^3 + t^2*(28-4-4-7+21-2+2) + 6t + (2-7+1) = 0
10t^8 - 6t^7 + 6t^6 - 6t^5 + 66t^4 + 6t^3 + 34t^2 + 6t - 4 = 0
Делим все на 2
5t^8 - 3t^7 + 3t^6 - 3t^5 + 33t^4 + 3t^3 + 17t^2 + 3t - 2 = 0
Это уравнение имеет 2 иррациональных корня:
t1 = tg(x/2) ≈ -0,387
x/2 ≈ -arctg(0,387) + П*k
x1 ≈ -2arctg(0,387) + 2П*k, k ∈ Z
t2 = tg(x/2) ≈ 0,25
x/2 ≈ arctg(0,25) + П*k
x2 ≈ 2arctg(0,25) + 2П*k, k ∈ Z
В общем, у меня такое чувство, что в задании опечатка.
Слишком сложно получилось.
Ну, или это задание из математической спецшколы.