одной из первых аксиом , относящейся к взаимному расположению точек и прямых на плоскости, является аксиома о том, что через любые две точки плоскости проходит единственная прямая.
сначала рассмотрим , идущие с нарастанием сложности.
1. сколько прямых
проходит через различные пары из трёх точек, не лежащих на одной прямой?
image
ответ: 3
2. сколько прямых проходит через различные пары из четырех точек, три из которых не лежат на одной прямой?
image
ответ: 6
3. сколько
прямых проходит через различные пары из пяти точек, три из которых не лежат на одной прямой?
image
ответ: 10
далее, перейдём к более сложному варианту:
4. сколько прямых проходит через различные пары из n точек, три из
которых не лежат на одной прямой?
решение.
пусть a1, …, an – n точек, три из которых не лежат на одной прямой. для построения таких точек достаточно отметить их на окружности.
image
выясним, сколько прямых проходит через точку a1 и
оставшиеся точки. так как число оставшихся точек равно n–1 и через каждую из них и точку a1 проходит одна прямая, то искомое число прямых будет равно n–1.
заметим, что рассуждения, проведённые для точки a1, справедливы для любой точки. поскольку всего точек n и через каждую из
них проходит n–1 прямая, то число посчитанных прямых будет равно n(n–1). так как, при указанном выше подсчете мы каждую прямую посчитали дважды и поэтому число прямых, проходящих через различные пары из n данных точек, равно n(n−1)2.
в заданном случае n=27. подставив значение в
формулу получим:
треугольник задается своими тремя вершинами.
случай 1. пусть одна из вершин треугольника лежит на первой прямой, у которой 10 точек, а две другие - на второй прямой, у которой 6 точек.
первую вершину можно выбрать способами, а две другие - способами. по правилу
произведения, всего треугольников
случай 2. пусть одна вершина теперь лежит на второй прямой, а две другие - на первой прямой. тогда первую вершину можно взять способами, а две другие - способами. по правилу произведения, всего таких треугольников -
6*45=270
итак, искомое количество треугольников равно
ищем искомое среди чисел 13,24,35,46,57,68,79
13=4*(1+3) -3 - не подходит
24=4*(2+4)+0 - не подходит
35=4*(3+5)+3 - не подходит
46=4*(4+6)+6 - не подходит
57=4*(5+7)+9 - подходит
68=4*(6+8)+12 - не подходит
79=4*(7+9)+15 - не подходит
ответ 57
Второй через составления уравнения)
Пусть цифра десятков равна х, тогда цифра единиц равна х+2, сумма цифр равна х+(х+2)=2х+2, а число равно 10х+х+2=11х+2. По условию задачи составляем уравнение 11х+2=4(2х+2)+9, откуда
11х+2=8х+8+9
11х-8х=8+9-2
3х=15
х=15:3
х=5
х+2=5+2=7
искомое число 57
ответ 57