ответ
1) 63/65; 2) -√2/10; 3) √((9+√80)/18); 4) -2√2
1) Косинус разности
cos(a - b) = cos a*cos b + sin a*sin b.
У нас a = arcsin(3/5); sin a = 3/5;
cos a = √(1 - sin^2 a) = √(1 - 9/25) = √(16/25) = 4/5
b = arcsin(5/13); sin b = 5/13;
cos b = √(1 - sin^2 a) = √(1 - 25/169) = √(144/169) = 12/13
sin a = 3/5; sin b = 5/13
Получаем
cos(a - b) = 4/5*12/13 + 3/5*5/13 = 48/65 + 15/65 = 63/65
2) Синус суммы
sin(a + b) = sin a*cos b + cos a*sin b
У нас a = arcctg(1/2); tg a = 1/2;
sin a = √5/5; cos a = 2√5/5.
Проверяем: sin^2 a + cos^2 a = 5/25 + 4*5/25 = 1/5 + 4/5 = 1. Все верно.
Точно также b = arcctg(-1/3); tg b = -1/3;
sin b = √10/10; cos b = -3√10/10
sin^2 b + cos^2 b = 10/100 + 9*10/100 = 1/10 + 9/10 = 1. Все верно.
Получаем
sin(a + b) = √5/5*(-3√10)/10 + 2√5/5*√10/10 = -3√50/50 + 2√50/50 = -√50/50 = -√2/10
3) Косинус половинного угла
cos (a/2) = √((1 + cos a)/2)
У нас a = arcsin(1/9); sin a = 1/9;
cos a = √(1 - sin^2 a) = √(1 - 1/81) = √(80/81) = √80/9
cos (a/2) = √((1 + √80/9)/2) = √((9 + √80)/18)
4) tg a = sin a / cos a
У нас a = arccos(-1/3); cos a = -1/3;
sin a = √(1 - cos^2 a) = √(1 - 1/9) = √(8/9) = √8/3
tg a = (√8/3) / (-1/3) = -√8/3 * 3 = -√8 = -2√2
Это парабола, ветви которой направленны вниз, о чём говорит множитель -1 у 
.
1 в данном случае обозначает, что график функции сдвинут вдоль оси Oy вверх на 1.
Т.е. отсюда видно, что функция, начинается выше оси Ох (принимая положительные значения) и в двух точках её пересекает своими ветвями, принимая отрицательные значения в дальнейшем. (Очевидно, что парабола может иметь не более двух точек пересечения с осью Ox, так что искать иных положительных значений не стоит)
Т.е. все множество положительных значений заключено между двумя корнями этой функции, а всё множество отрицательных, вне.
Корни видно из графика, это x_1 = 1 и x_2 = -1.
Сумма десяти чисел равна 10*15=150
Сумма 11-ти чисел равна сумме прежней сумммы и нового числа 37, а количество стало 10+1=11
поэтому среднеем арифмитическое нового ряда равно
(150+37)/11=187/11=17
отвте: 17