Паша и Полина сказали противоположные вещи, значит, один из них дважды солгал, второй дважды сказал правду (количество правдивых ответов у одного должно равняться количеству ложных ответов другого). Значит, Петя один раз солгал и один раз сказал правду.
Если Петя солгал о том, что не включал сигнализацию, то второе утверждение верно, Паша её не включал. Полина сказала правду, а Паша дважды солгал. Подходит!
Если Петя сказал правду о том, что не включал сигнализацию, то её включил Паша. Но тогда Полина не соврала о том, что не включала, но соврала о том, что это сделал Петя — не подходит.
Петя:
1) Я не включал.
2) Паша не включал.
Паша:
1) Петя не включал.
2) Включила Полина.
Полина:
1) Я не включала.
2) Включил Петя.
Известно, что один сказал правду оба раза, второй оба раза соврал, третий сказал одну правду и одну ложь.
1) Пусть Петя сказал правду оба раза. Тогда сигнализацию включила Полина. Тогда Паша тоже сказал правду оба раза, а этого не может быть,
2) Пусть Петя оба раза соврал. Тогда сигнализацию включили двое - он и Паша. Такого тоже не может быть.
Значит, Петя один раз сказал правду, а второй раз соврал.
3) Допустим, он сказал правду в 1) пункте и соврал во 2).
Тогда сигнализацию включил Паша.
Но тогда Полина тоже сказала один раз правду и один раз соврала.
Она не включала (правда), и Петя не включал (ложь).
Получается, что двое сказали по одной правде и одной лжи.
Опять получили противоречие.
4) Остается последний возможный вариант:
Петя соврал в 1) пункте и сказал правду во 2) пункте.
Значит, сигнализацию включил он, а Паша не включал.
Тогда Паша оба раза соврал, а Полина оба раза сказала правду.
ответ: Сигнализацию включил Петя.