Question

Sinx I sin 3r+sin Sy-sm 74cos x cos 2rsin 4.x.​

Answer 1

Объяснение:

$\sin{x} + \sin 3x+ \sin 5x + \sin 7x \: = \\ = 4 \cos x \cos 2x \: \sin 4x$

Проведем доказательство тождества следующим образом:

- проведем равносильные преобразования левой части доказываемого тождества;

- если в итоге преобразований левая часть примет ту же форму что и правая часть - тождество доказано.

Итак - левая часть:

$\sin{x} + \sin 3x+ \sin 5x + \sin 7x \: = ...$

Сгруппируем следующим образом:

$...=(\sin{x} + \sin 7x)+ (\sin 3x + \sin 5x ) = \\ =(\sin{7x} + \sin x)+ (\sin 5x + \sin 3x ) ...$

Воспользуемся формулой суммы синусов:

$\small{\sin \alpha + sin \beta = 2sin( \frac{ \alpha + \beta }{2} ){\cdot}cos( \frac{ \alpha - \beta }{2})}$

Поочередно сложим группы внутри скобок:

$a)\:\: \sin 7x + \sin x = 2 \sin( \frac{7x {+ }x}{2} ) \cos( \frac{ 7x {-} x }{2}) = \\ = 2 \sin 4x{\cdot} \cos {3x} \\ \\ b) \:\:\: \sin 5x + \sin 3x = 2 \sin( \frac{5x {+ }3x}{2} ) {\cdot}\cos( \frac{ 5x {-} 3x }{2}) = \\ = 2 \sin 4x {\cdot}\cos x \\$

Тогда вся левая часть примет вид:

$\sin x + \sin 3x + \sin 5x + \sin 7x = \\ = ( \sin 7x + \sin x) + ( \sin 5x + \sin 3x) = \\ = 2{\cdot} \sin 4x{\cdot} \cos 3x + 2{\cdot} \sin 4x {\cdot} \cos x = \\ = 2{\cdot} \sin 4x {\cdot} (\cos 3x + \cos x) \\$

для преобразования суммы косинусов в скобках воспользуемся такой формулой:

$cos \alpha + cos \beta = 2 {\cdot}\cos ( \frac{ \alpha + \beta }{2} ) {\cdot}\cos( \frac{ \alpha - \beta }{2})$

Выражение примет вид:

$...= 2 \sin 4x{\cdot} (\cos 3x + \cos x) = \\ =2 {\cdot}\sin 4x{\cdot} \big(2\cos {(\tfrac{3x + x}{2})} {\cdot}\cos {(\tfrac{3x - x}{2})} \big) = \\ =2 {\cdot}\sin 4x {\cdot}2 \cos 2x {\cdot}\cos x =\\ = 4{\cdot}\sin 4x {\cdot} \cos 2x {\cdot}\cos x =\\=4{\cdot} \cos x {\cdot}\cos 2x {\cdot} \sin 4x$

В результате преобразований левая часть приняла тот же вид что и правая.

Тождество доказано.