Question

Найти частное решение дифференциального уравнения y''-4y'+8y=0, учитывая следующие условия: y(0)=0 и y'(0)=2.

Answer 1

$y'' - 4y' + 8y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ k {}^{2} - 4k + 8 = 0\\ D = 16 - 32 = - 16\\ k_1 = \frac{4 + \sqrt{ - 16} }{2} = \frac{4 + 4i}{2} = 2 + 2i \\ k_2 = 2 - 2i \\ \\ y = e {}^{2x} (C_1 \sin(2x) + C_2 \cos(2x) )$

Общее решение

$y(0) = 0,y'(0) = 2$

$y' = 2 {e}^{2x} (C_1 \sin(2x) + C_2 \cos(2x) ) + {e}^{2x} (2C_1 \cos(2x) - 2C_2 \sin(2x) ) = \\ = {e}^{2x} ((2C_1 - 2C_2) \sin(2x) + (2C_2 + 2C_1) \cos(2x))$

$0 = C_2 \\ 2 = 2C_1 + 2C_2 \\ \\ C_2 = 0\\ C_1 = 1$

$y = {e}^{2x} \sin(2x)$

частное решение