1.
(sin3A+sinA) / (cos3A+cosA) =
= (2·sin((3A+A)/2)·cos((3A-A)/2)) / (2·cos((3A+A)/2)·cos((3A-A)/2)) =
= (2·sin2A·cosA) / (2·cos2A·cosA) =
= (2·sin2A) / (2·cos2A) =
= (2·sin2A·cos2A) / (2·cos2A·cos2A) =
= (sin4A) / (2·cos²2A) =
= (sin4A) / (2·cos²2A) = (sin4A) / (1+cos4A)
2.
4·cos(A/3)·cos(A/4)·cos(A/6) =
= 4·cos(A/4)·(cos(A/3)·cos(A/6)) =
= 4·cos(A/4)·(1/2)·(cos(A/3+A/6)+cos(A/3-A/6)) =
= 2·cos(A/4)·(cos(A/2)+cos(A/6)) =
= 2·cos(A/4)·cos(A/2)+2·cos(A/4)·cos(A/6) =
= 2·(1/2)·(cos(A/4+A/2)+cos(A/4-A/2)) +
+ 2·(1/2)·(cos(A/4+A/6)+cos(A/4-A/6)) =
= cos(3A/4)+cos(-A/4)+cos(5A/12)+cos(A/12) =
= cos(3A/4)+cos(A/4)+cos(5A/12)+cos(A/12)
Даны координаты вершин треугольника ∆ABC:
A=(1,0) B=(7,3) C=(4,4)
Найти:
• уравнение линии BC.
;Вектор ВС = (4-7; 4-3) = (-3; 1)
Уравнение ВС: (x - 7)/(-3) = (y - 3)/1 или в общем виде:
x + 3y - 16 = 0.
• уравнение высоты AK.
АК это перпендикуляр к ВС. В уравнении АК коэффициенты А и В прямой ВС меняются на -В и А.
АК: -3x + y + C = 0, подставим координаты точки А:
-3*1 + y*0 + C = 0, отсюда С = 3.
Уравнение АК: -3x + y + 3 = 0 или 3x - y - 3 = 0.
• длину высоты AK.
Точка К - это пересечение ВС и АК.
x + 3y - 16 = 0, x + 3y - 16 = 0,
3x - y - 3 = 0 |x(3) = 9x -3y - 9 = 0
10x - 25 = 0
x = 25/10 = 2,5, y = 3x - 3 = 3*2,5 - 3 = 4,5.
Точка К(2,5; 4,5).
Вектор АК = (2,5-1; 4,5-0) = (1,5; 4,5).
Модуль (длина) АК = √(1,5² + 4,5²) = √(2,25 + 20,25) = √22,5 ≈ 4,743416.
• уравнение прямой (l), которая проходит через точку A параллельно прямой BC.
В уравнение ВС подставляем координаты точки А:
1 + 3*0 + С = 0, отсюда С = -1.
Уравнение АА1: x + 3y - 1 = 0.
• уравнение медианы (AM ), проведенной через вершину A.
Точка М - середина стороны ВС.
М = ((7+4)/2; (3+4)/2) = (5,5; 3,5).
Вектор АМ = (5,5-1; 3,5-0) = (4,5; 3,5).
Уравнение АМ: (x - 1)/4,5 = y /3,5 или в общем виде 7х - 9у - 7 = 0.
• угол (ϕ), образованный медианой, проведенной из вершины A, и стороной AB.
Вектор АМ =(4,5; 3,5) найден, его модуль √(20,25 +12,25) = √32,5 ≈ 5,700877125
Вектор АВ = (7-1; 3-0) = (6; 3), его модуль √(36+9) = √45 = 3√5 ≈ 6,708203932
cos (ϕ) = (4,5*6 +3,5*3)/(√32,5*3√5) = 37,5 /√1462,5 = 37,5/38,24264635 = 0,980580676.
Угол равен 0,19739556 радиан или 11,30993247 градуса.
• площадь треугольника ABC.
S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 6.
• периметр треугольника ABC.
Расчет длин сторон
АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √52 =7,21110.
BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √9 = 3.
AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √25 = 5.
Периметр Р = 8 + √52 = 15,21110 .