Как решить с объяснением (√7 - 1)в квадрате + (√7 + 1)в квадрате докажите что данное выражение число рациональное

👇

Ответ:

mig4

27.04.2021

Проще всего, практически, устно получится, если воспользоваться формулой
a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2*a*b
Получится, если а=sqrt(7)-1, b=sqrt(7)+1

(sqrt(7)-1+sqrt(7)+1)^2 - 2*(sqrt(7)-1)*(sqrt(7)+1) = 4*7 - 2(7-1)=28 - 12 = 16
Так что ответ не только рациональное число, а даже ЦЕЛОЕ!

4,7(30 оценок)

Открыть все ответы

Ответ:

Alan1987

27.04.2021

Пусть один из катетов треугольника равен х см. Тогда другой катет равен (х-14) см. А гипотенуза равна: (х+2) см.

По теореме Пифагора получаем:
$(x+2)^{2}=x^{2}+(x-14)^{2}$
$x^{2}+4x+4=x^{2}+x^{2}-28x+196$
$x^{2}-28x+196-4x-4=0$
$x^{2}-32x+192=0, D=256=16^{2}$
$x_{1}= \frac{32+16}{2}=24$
$x_{2}= \frac{32-16}{2}=8$

Проверим, какой из получившихся корней является решением задачи:
Пусть х=24 - один катет, тогда другой катет равен: 24-14=10 см., а гипотенуза равна: 24+2=26 см.
Стороны треугольника: 24, 10, 26 - правило существования треугольника соблюдается (24+10>26, 24+26>10, 26+10>24)
Пусть х=8 - один катет, тогда другой катет равен 8-14<0 - сторона не может быть отрицательной. Значит х=8 - не является решением.

ответ: 24, 10, 26

4,4(53 оценок)

Ответ:

ainesk12

27.04.2021

Займусь своим любимым делом - упрощением уравнения. Но сначала выпишем ОДЗ: $x\in[0;1] -$ это очевидное следствие наличия двух радикалов. Далее: обращаю внимание на то, что в двух случаях "x" входит в уравнение с коэффициентом 5. А ведь скорее всего придется в квадрат возводить... В общем, домножаю уравнение на $\sqrt{5},$ занося сразу этот множитель под знаки радикалов:

$(5x+2)\cdot\sqrt{5-5x}+(5x-7)\cdot\sqrt{5x}=0; 5x=t\in[0;5];$

$(t+2)\cdot\sqrt{5-t}+(t-7)\cdot \sqrt{t}=0.$

На мой взгляд, уравнение стало выглядеть чуть привлекательней. Но это не предел. В уравнение неизвестная входит четыре раза. Надо бы уменьшить. Проверяем подстановкой, является ли решением t=0 - не является. Поэтому можно поделить уравнение на $t\cdot \sqrt{t},$ записав теперь его в виде

$(1+\frac{2}{t})\cdot\sqrt{\frac{5}{t}-1}+(1-\frac{7}{t})=0; \frac{1}{t}=p\in[\frac{1}{5};+\infty);$

$(1+2p)\cdot\sqrt{5p-1}=7p-1; p\ge\frac{1}{5}\Rightarrow p\ge\frac{1}{7},$

то есть это уравнение можно смело возводить в квадрат без боязни приобрести лишние корни:

(1+4p+4p^2)(5p-1)=49p^2-14p+1; 20p^3-33p^2+15p-2=0;

угадываем p=1; делим столбиком или угадываем разложение любым другим доступным ниже нашего достоинства говорить о таких мелочах, когда решаешь такую продвинутую задачу):

(p-1)(20p^2-13p+2)=0.

Итак, одно решение у нас уже есть (надо только не забыть в конце вернуться к первоначальной переменной), остается решить квадратное уравнение. Желающие могут вычислять дискриминант, мы же продолжим идти путем упрощенчества. Домножим уравнение

20p^2-13p+2=0 на 20 и сделаем замену (последнюю!) 20p=q:

$q^2-13q+40=0; (q-8)(q-5)=0; \left [ {{q=8} \atop {q=5}} \right. ; \left [ {{p=2/5} \atop {p=1/4}} \right. ; \left [ {{t=5/2} \atop {t=4}} \right. ; \left [ {{x=1/2} \atop {x=4/5}} \right.$