Question

Нужно понятное решение
(10 кл.)

Answer 1

1) $-1$, $0$, $1$.

2) $-1$, $3$.

Объяснение:

1) По утверждению, обратному лемме Ферма, в точке экстремума функции значение её производной равно нулю. Отсюда следует, что для нахождения точки экстремума функции следует сначала найти производную функции, а затем найти точки, в которых она равна нулю. Они и будут являться точками экстремума исходной функции.

Для данной функции $f(x)=2x^2-x^4$ найдём производную:

$f'(x)=2\cdot2x-4x^3 = 4x - 4x^3$. (применены правила: $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(u+v)'=u'+v'$)

Решим теперь уравнение $f'(x)=0$:

$4x-4x^3=0;\\4x(1-x^2)=0;\\$

Отсюда следует, что или $4x$ равно нулю, или $1-x^2$ равно нулю.

Первое:

$4x=0;\\x=0.$

Второе:

$1-x^2=0;\\x^2=1;\\x=\pm 1.$

Получается, что точками экстремума функции $f(x)$ являются $-1$, $0$ и $1$.

2) Аналогично первому заданию, для данной функции $f(x)=\frac{x^2-x+4}{x-1}$ найдём производную:

$f'(x)=\frac{(x^2-x+4)'(x-1)-(x^2-x+4)(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{(2x-1)(x-1)-(x^2-x+4)\cdot1}{x^2-2x+1} =\\\frac{2x^2-x-2x+1-x^2+x-4}{x^2-2x+1} = \frac{x^2-2x-3}{x^2-2x+1}.$ (применены правила: $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(cx)'=c$, $(c)'=0$, $(u+v)'=u'+v'$, $\left( \frac{u}{v} \right)'=\frac{u'v - uv'}{v^2}$)

Решим теперь уравнение $f'(x)=0$:

$\frac{x^2-2x-3}{x^2-2x+1} = 0.$

Из него следует, что $x^2-2x+1 \ne 0$, а также $x^2-2x-3=0.$

Для первого:

$x^2-2x+1 \ne 0;\\D = 4 - 4 = 0.\\\\x \ne \frac{2}{2} \ne 1.$

Для второго:

$x^2-2x-3=0;\\D=4+4\cdot3=4+12=16=4^2.\\\\x_1=\frac{2+4}{2} = \frac{6}{2} = 3.\\x_2=\frac{2-4}{2} = -\frac{2}{2} = -1.$

Все $x$ удовлетворяют условию $x \ne 1.$

Получается, что точками экстремума функции $f(x)$ являются $-1$ и $3$.