Question

Решите неравенство: x^4+5x^3+10x^2+20x+24> 0

Answer 1

Разложим левую часть неравенства на множители

$x^4+5x^3+10x^2+20x+24=x^4+2x^3+3x^3+6x^2-6x^2-12x+12x+24+\\ \\ +10x^2+20x=(x+2)(x^3+3x^2-6x+12)+10x(x+2)=\\ \\ =(x+2)(x^3+3x^2-6x+12+10x)=(x+2)(x^3+3x^2+4x+12)=\\ \\ =(x^3+3x^2+4x+12)(x+2)=(x^2(x+3)+4(x+3))(x+2)=\\ \\ =(x+2)(x+3)(x^2+4)0$

Третий множитель очевидно, что $x^2+40$, поэтому достаточно решить неравенство $(x+2)(x+3)0$

___+____(-3)____-___(-2)___+____

ответ: x ∈ (-∞; -3) ∪ (-2; +∞).

Answer 2

Объяснение:

Сначала решим уравнение четвертой степени.

По теореме Безу его корни надо искать среди делителей свободного члена (в нашем случае свободный член равен 24)

Простым подбором, получаем 2 корня:

x = -2  и  x= -3

Далее найдем произведение:

(x+2)·(x+3) = x² + 5x + 6

Разделим исходное уравнение на полученное произведение "столбиком"

Итак, неравенство можно написать так:

(x+2)(x+3)(x²+4) > 0

Поскольку (x²+4)>0, то по правилу интервалов находим решение неравенства:

(x+2)(x+3)>0

Получили:

x ∈ (-∞;  - 3) ∪ (-2; +∞)