Здесь самый красивый метод не подстановки, а замена переменной. Пусть x + y = a, xy = b.
Выразим сумму квадратов в первом уравнении через a и b. Это можно сделать, если возвести в квадрат x + y.
(x + y)² = x² + 2xy + y²
a² = x² + 2b + y², откуда
x² + y² = a² - 2b. Теперь с учётом замены:
a² - 2b = 44 a² = 44 + 2b = 44 + 2 * 4 = 52 a = √52 или a = -√52
b = 4 b = 4 b = 4 b = 4
Теперь возвращаемся к старым переменным и получаем ещё две системы в подарок:
x + y = √52 и x + y = -√52
xy = 4 xy = 4
Решаем первую систему:
y = √52 - x
x(√52 - x) = 4 (1)
(1)x√52 - x² = 4
x² - √52x + 4 = 0
D = b² - 4ac = 52 - 16 = 36
x1 = (√52 - 6) / 2;
x2 = (√52 + 6) / 2
Получаем два варианта:
x = (√52 - 6) / 2 x = (√52 + 6) / 2
y = √52 - (√52-6) / 2 = (√52 + 6) / 2 y = (√52 - 6) / 2
Решая вторую систему, получим, что:
y = -√52 - x
x(-√52 - x) = 4 (2)
(2) -√52x - x² = 4
x² + √52x + 4 = 0
D = 52 - 16 = 36
x1 = (-√52 - 6) / 2;
x2 = (-√52 + 6) / 2
Тогда выходят такие варианты:
x = (-√52 - 6) / 2 x = (-√52 + 6) / 2
y = (6 - √52) / 2 y = (-√52 - 6) / 2
Таким образом, решениями данной системы являются целых 4 пары чисел
((√52 - 6) / 2; (√52 + 6) / 2); ((√52 + 6) / 2;(√52 - 6) / 2); ((-√52 - 6) / 2;(6 - √52) / 2);
((-√52 + 6) / 2;(-√52 - 6) / 2)
Решения не очень хорошие, но они верные, подставлял . Кстати, подставлять для проверки нужно обязательно в ОБА уравнения, поскольку это не совокупность уравнений, а их система, то есть их одновременное выполнение.
а) 4x² - 4x - 15 < 0
D = b² - 4ac = 16 + 4*4*15 = 16 + 240 = 256
x₁ = (-b + √D) / 2a = (4 + 16) / 8 = 20 / 8 = 2,5
x₂ = (-b - √D) / 2a = (4 - 16) / 8 = -12 / 8 = -1,5
(x - 2,5)(х + 1,5) < 0
{ x < 2,5
{ x < -1,5
ответ: (-1,5; 2,5)
б) x² - 81 > 0
(x - 9)(x + 9) > 0
{ x > -9
{ x > 9
ответ: (-9; 9)
в) x² < 1,7х
x² - 1,7х < 0
х(x - 1,7) < 0
{ x < 0
{ x < 1,7
ответ: (0; 1,7)
г) x( x + 3) - 6 < 3 (x + 1)
x² + 3x - 6 - 3x - 3 < 0
x² - 9 < 0
(x - 3)(x + 3) < 0
{ x < -3
{ x < 3
ответ: (-3; 3)