Question

При каких значениях параметра а , произведение корней уравнения х^2+5ах+А^2+4а+10=0 равно 10​

Answer 1

$x^2+5ax+a^2+4a+10=0$

Произведение корней приведённого трёхчлена равно свободному члену. В данном случае свободным членом является $a^2+4a+10$. Этот член должен быть равен 10:

$a^2+4a+10=10\\a^2+4a=0\\a(a+4)=0\\a_1=0\\a_2=-4$

Так как в исходном многочлене параметр присутствует и во втором члене, проверим оба корня:

$a=0\\x^2+5 \cdot 0+0=0\\x=0$

Видим, что первый корень не подходит. Проверим второй корень:

$x^2+ 5 \cdot (-4)x+(-4)^2-16+10=0\\x^2-20x+10=0$

Убедимся, что корни существуют. Для этого дискриминант должен быть положителен:

$D=(-20)^2-4 \cdot 10=400-40=3600$

Корни существуют.

ответ: $a=-4$.