Question

решить, 1.1.1. Профсоюзное бюро факультета, состоящее из 9 человек, на своём
заседании должно избрать председателя, его заместителя и казначея. Сколько различных случаев при этом должно быть?
1.1.2. Старший менеджер офиса фирмы должен отправить в командировку группу из 5 человек. Сколько таких групп можно составить из 12 сотрудников офиса, занимающих одинаковые должности и выполняющих одинаковые функции?

Answer 1

1.1.1: 504 варианта

1.1.2: 792 варианта

Объяснение:

1.1.1. Поскольку все 3 выборных должности различны, то при выборе 3 из 9 кандидатов также важен и порядок выбора. То есть требуется найти число размещений 3 элементов (выборные должности) из 9 (число кандидатов).

Это производится по формуле:

$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n\cdot (n-1)\cdot ... \cdot (n-k+1)$

В нашем случае n=9; k=3. Т.е.

$A_9^3=\frac{9!}{(9-3)!}= \frac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6} = \\ =7\cdot8\cdot9 = 504$

ответ: 504 различных случая возможно.

1.1.2

Поскольку у нас нет известных различий среди 5 командированных сотрудников, то порядок их выбора значения не имеет (размещение элементов внутри выборки не учитывается - считается как 1 вариант), то при выборе 5 человек из 12 кандидатов порядок выбора не важен. То есть требуется найти число сочетаний 5 элементов (число командировок) из 12 (число кандидатов).

Это производится по формуле:

$C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$

В нашем случае n=15; k=5. Т.е. число сочетаний равно

$C_{12}^5=\frac{12!}{(12-5)!\cdot 5!} = \frac{12!}{7!\cdot 5!} = \\ = \frac{\cancel{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7 \: }\cdot{ 8 }\cdot9\cdot\cancel{ \: 10 \: }\cdot11 \cdot\cancel{ \: 12} \: }{ \cancel{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7 \: }\cdot1\cdot\cancel{ \: 2 \: }\cdot\cancel{ \: 3 \: }\cdot\cancel{ \: 4 \: }\cdot\cancel{ \: 5 \: }} = \\ = 8 \times 9 \times 11 = 792$

792 варианта групп