1.Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм. 2.Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то это параллелограмм. 3.Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам,то это параллелограмм.
Доказательство первого признака. Доказательство:Рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть в нем стороны AB и СD параллельны. И пусть AB=CD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.Эти треугольники равны между собой по двум сторонам и углу между ними (BD - общая сторона, AB = CD по условию, угол1 = угол2 как накрест лежащие углы при секущей BD параллельных прямых AB и CD.), а следовательно угол3 = угол4.А эти углы будут являться накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD секущей BD. Из этого следует что BC и AD параллельны между собой. Имеем, что в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник ABCD является параллелограммом.
Пусть в одном мешке х кг, тогда в другом (50-х) кг. Пусть из второго мешка взяли у кг, тогда из первого мешка взяли в три раза больше, т.е 3у По условию в первом осталось в два раза меньше, чем во втором. (х-3у) в два раза меньше, чем (50-х)-у 2(х-3у)=50-х-у 2х-6у=50-х-у 2х+х-6у+у=50 3х-5у=50 3х=50+5у 3х=5(10+у) Это уравнение с двумя переменными, которое надо решить в натуральных числах. Решаем перебора с разными ограничениями Выражение справа кратно 5, значит и выражение слева кратно 5 х=5n, n∈ N х=5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45 Выражение слева кратно 3, значит и выражение справа должно быть кратно 3 10+у=3k, k∈ N у=2; 5; 8; 11;1415;..
5·12=60, значит х=20 и тем самым х=5; 10;15 не является решением 5·15=75, значит х=25 5·18=90, значит х=30 5·21=105, значит х=35 5·24=120, значит х=40 5·27=135, значит х=45
если в одном мешке 20 кг, в другом 30 кг из второго мешка взяли 2 кг, из первого 6 кг 20-6=14 кг, 30-2=28 кг 14 кг в два раза меньше чем 28
если в одном мешке 25 кг и в другом 25 из второго мешка взяли 5 кг, из первого 15 кг в первом останется 10 кг, во втором 20 кг 10 кг в два раза меньше чем 20 кг и так далее
30 20 взяли 24 8 останется 6 12
35 15 взяли 33 11 останется 2 4
40 10 взяли 15 - невозможно
ответ. В первом во втором 20 кг 30 кг взяли 6 кг 2 кг осталось 14 кг 28 кг
2.Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то это параллелограмм.
3.Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам,то это параллелограмм.
Доказательство первого признака.
Доказательство:Рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть в нем стороны AB и СD параллельны. И пусть AB=CD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.Эти треугольники равны между собой по двум сторонам и углу между ними (BD - общая сторона, AB = CD по условию, угол1 = угол2 как накрест лежащие углы при секущей BD параллельных прямых AB и CD.), а следовательно угол3 = угол4.А эти углы будут являться накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD секущей BD. Из этого следует что BC и AD параллельны между собой. Имеем, что в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник ABCD является параллелограммом.