Вкладчик положил х руб под y процентов годовых. через год банк ему начислил xy/100 =800 руб и него стало x+800 руб. Он добавил 5000 руб и у него стало x+800+5000=х+5800 еще через год банк ему начислил (х+5800)y/100 руб и у него стало х+5800+(х+5800)y/100=17064 руб Итак у нас получилась система уранение xy/100 =800 х+5800+(х+5800)y/100=17064 Решаем xy=80000 y=80000/x
х+(х+5800)y/100=11264 100x+(х+5800)y=1126400 100x+xy+5800y=1126400 подставляем xy и y из певого уравнения 100x+80000+5800*80000/x=1126400 100x+5800*80000/x=1046400 x+5800*800/x=10464 x²+4640000=10464х x²-10464х+4640000=0 D=10464²-4*4640000=90935296 √D=9536 x₁=(10464-9536)/2=464 x₂=(10464+9536)/2=10000 y₁=80000/464=172,4 % годовых, врядли банк на такую щедрость y₂=80000/10000=8% вполне возможный вариант
ответ: математически возможны 2 ответа - 464руб и 10000 руб, на практике только 10000
Используем формулу косинуса двойного угла cos2x=1-2sin²x и преобразуем неравенство к виду |18sin²x+6(a-2)sinx-2a-5|≤9 или -9≤18sin²x+6(a-2)sinx-2a-5≤9 Если неравенство должно быть выполнено для всех x, то значит в частности и для x=0 оно должно быть верным. Если x=0, то и sinx=0. Подставим 0 в неравенство: -9≤18*0+6(а-2)*0-2а-5≤9 -9≤2а+5≤9 -7≤a≤2 - мы получили первое ограничение на а. Пусть теперь x=π/2: -9≤18+6(a-2)-2a-5≤9 -5/2≤a≤2 - мы еще больше ограничили множество возможных значений а, но это мало что дало. А если x=3π/2? Тогда -9≤18-6(a-2)-2a-5≤9 2≤a≤17/4 Вот теперь повезло. В самом деле, если а<2, то неравенство не будет верным для x=3π/2, а если a>2, то для x=0 и π/2, между тем нам надо чтобы оно выполнялось для любого x, а отсюда следует что подходит только а=2. Остается проверить эту двойку: |9cos2x-6(2-2) sinx+2*2-4| ≤ 9 9|cos2x|≤9 |cos2x|≤1 Очевидно, что неравенство верно для всех х, а значит двойка нам подходит. ответ: а=2. Вообще обычно такие примеры решаются более сложными методами. Здесь просто все сложилось удачно.
sin⁸x = (sin²x)⁴ = (1 - cos²x)⁴ ⇒ исходное уравнение можно переписать
в виде: (1 - cos²x)⁴ + cos⁹x = 1. Let cosx = t, |t| ≤ 1, then (1 - t²)⁴ + t⁹ = 1 ⇒
1 - 4t² + 6t⁴ - 4t⁶ + t⁸ + t⁹ = 1 ⇒ - 4t² + 6t⁴ - 4t⁶ + t⁸ + t⁹ = 0 ⇒
t²·(t⁷ + t⁶ - 4t⁴ + 6t² - 4) = 0 ⇒ t = 0 or t⁷ + t⁶ - 4t⁴ + 6t² - 4 = 0,
t⁷ + t⁶ - 4t⁴ + 6t² - 4 = (t - 1)·(t⁶ + 2t⁵ + 2t⁴ - 2t³ - 2t² + 4t + 4) = 0 ⇒
t - 1 = 0 or t⁶ + 2t⁵ + 2t⁴ - 2t³ - 2t² + 4t + 4 = 0.
График функции у(t) = t⁶ + 2t⁵ + 2t⁴ - 2t³ - 2t² + 4t + 4 - лежит выше нуля
⇒ t⁶ + 2t⁵ + 2t⁴ - 2t³ - 2t² + 4t + 4 = 0 - не имеет вещественных корней
⇒ t₁ = 0 и t₂ = 1 - корни уравнения (1 - t²)⁴ + t⁹ = 1 ⇒ cosx = 0 или cosx = 1,
cosx = 0 ⇒ х = π/2 + πk, k - целое; cosx = 1 ⇒ х = 2πn, n - целое.
Отсеиваем корни из условия принадлежности отрезку [0 ; 2π]:
х₁ = 0, х₂ = π/2, х₃ = 3π/2, х₄ = 2π. ∑корней = 0 + π/2 + 3π/2 + 2π = 4π