Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения sinx +cosx ?

Answer 1

Преобразуем это выражение. Найдём такое число, чтобы на него умножить и разделить одновременно:
C = $\sqrt{ 1^{2} + 1^{2} } = \sqrt{2}$
Теперь произведём с учётом этого следующие преобразования:
$sin x + cos x = \sqrt{2} ( \frac{1}{ \sqrt{2} } sin x + \frac{1}{ \sqrt{2} } cos x) = \sqrt{2} (cos \frac{ \pi }{4} sin x + sin \frac{ \pi }{4} cos x) = \sqrt{2} sin(x+ \frac{ \pi }{4} )$
Теперь мы легко можем произвести оценку этого выражения:
$-1 \leq sin(x + \frac{ \pi }{4} ) \leq 1$
$- \sqrt{2} \leq \sqrt{2} sin(x + \frac{ \pi }{4} ) \leq \sqrt{2}$
Таким образом, наименьшее значение этого выражения равно $-\sqrt{2}$, а наибольшее равно $\sqrt{2}$. Задача решена!