1) Складывая уравнения системы, получаем уравнение 2x²=32, откуда x²=16. Тогда из первого уравнения находим 2y²=2 и y²=1. Если x²=16, то x1=4, x2=-4 Если y²=1, то y1=1, y2=-1. Решением уравнения явлаются пары (x1;y1), (x1;y2), (x2,y1), (x2;y2). ответ: (4;1), (4;-1), (-4;1), (-4;-1)
2) Из первого уравнения находим 6/(x-y)=8/(x+y)-2. Тогда 9/(x-y)=12/(x+y)-3. Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем 22/(x+y)=11, откуда x+y=22/11=2. Теперь из первого уравнения находим 6/(x-y)-8/2=-2, откуда 6/(x-y)=2 и x-y=6/2=3. Получили систему уравнений:
x+y=2 x-y=3.
Из первого уравнения находим y=2-x. Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем 2x-2=3, 2x=5, x=2,5. Тогда y=-0,5. ответ: (2,5;-0,5)
Решение 1. а) у = (x - 2)²/(x+1) Находим первую производную функции: y ` = - (x - 2)/(x + 1)² + (2x - 4)/(x + 1) или y ` = [(x - 2)*(x + 4)]/(x + 1)² Приравниваем ее к нулю: [(x - 2)*(x + 4)]/(x + 1)² = 0 (x - 2)*(x + 4) = 0 , x ≠ 0 x₁ = - 4 x₂ = 2 Вычисляем значения функции f(- 4) = -12 f(2) = 0 ответ: fmin = -12, fmax = 0 Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную: y `` = [2* (x - 2)²/(x + 1)³ + 2/(x + 1) - (4x - 8)/(x + 1)² или y `` = 18/(x + 1)³ Вычисляем: y `` =(- 4) = - 2/3 < 0 значит эта точка - максимума функции. y`` (2) = 2/3 > 0 значит эта точка - минимума функции. б) промежутки монотонности функции y ` = [(x - 2)*(x + 4)]/(x + 1)² Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю (x - 2) * (x+4) = 0 Откуда: x₁ = - 4 x₂ = 2 (-∞ ;-4) f'(x) > 0 функция возрастает (-4; -1) f'(x) < 0 функция убывает (-1; 2) f'(x) < 0 функция убывает (2; +∞) f'(x) > 0 функция возрастает В окрестности точки x = - 4 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -4 - точка максимума. В окрестности точки x = 2 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 2 - точка минимума. 2. а) у = √х - х Находим первую производную функции: y ` = - 1 + 1/2√x Приравниваем ее к нулю: - 1 + 1/2√x = 0 √x = 2/2 x = 1/4 Вычисляем значения функции f(1/4) = 1/4 Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную: y `` = - 1 / (4x³/²) Вычисляем: y `` (1/4) = - 2 < 0 значит эта точка - максимума функции. б) промежутки монотонности функции y ` =- 1 + 1/2√x Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю - 1 + 1/2√x = 0 Откуда: x = 1/4 (-∞ ;1/4) f'(x) > 0 функция возрастает (1/4; +∞) f'(x) < 0 функция убывает В окрестности точки x = 1/4 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 1/4 - точка максимума.
6x-6x=-4+4
x=0
ответ: x= 0