Question

Найдите, при каких значениях параметра m трехчлен второй степени (3-4m)x^2+3(m-1)x-2(m-1) представляет полный квадрат двучлена.

Answer 1

Нам нужно разложить наш трехчлен на два множителя, которые на самом-то деле будут одинаковыми. Чтобы найти эти множители, нам необходимо решить квадратное уравнение $(3-4m)x^2+3(m-1)x-2(m-1)=0$ 
Самое главное - не запутаться в буквах. $x$ - переменная, а $m$ - параметр.
Найдем дискриминант этого уравнения.
$D=(3(m-1))^2-4*(3-4m)*(2(m-1))=$
$=3m^2-6m+3-4((3-4m)(2m-2))=$
$3m^2-6m+3-4(-8m^2+14m-6)=$
$3m^2-6m+3+32m^2-56m+24=35m^2-62m+27$

Теперь думаем: при $D0$ будет два корня, которые не будут равны. При $D<0$ корней не будет вообще, а при $D=0$ - как раз то, что нужно! Ведь корень будет всего один (или, как говорят, корень второй кратности), а значит получится полный квадрат двучлена.

Решим другое уравнение: $35m^2-62m+27=0$. Заметим, что сумма коэффициентов равна нулю, а значит число 1 является корнем этого уравнения. По теореме Виета, другой корень будет равен $\frac{27}{35}$.

Итак, вот он ответ: при $m=1$ и $m=\frac{27}{35}$ наш трехчлен представляет собой полный квадрат.

Ради интереса можно сделать проверку, подставив вместо m единицу, и попробовать выделить полный квадрат.