Question

Исследовать пределы функции на концах промежутков непрерывности y(x) =(x*x-4)/(x*x*x+2*x*x-8*x)

Answer 1

$x^3+2x^2-8x=x(x^2+2x-8)=x(x-2)(x+4)\\\\f(x)=\frac{x^2-4}{x(x-2)(x+4)}=\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)(x+4)}=\frac{x+2}{x(x+4)},\; ODZ:\; x\ne 0,x\ne 2,x\ne -4$
Функция непрерывна в точке, если предел слева равен пределу справа и равен значению функции в этой точке.В точке х=2 функция по ОДЗ не определена, так как по условию в знаменателе после разложения кв.трёхчлена на множители появляется скобка (х-2).Потом мы её сокращаем.Поэтому пределы слева и справа равны 1/3.
 $lim_{x\to 0}\frac{x+2}{x(x+4)}=[\frac{2}{0}]=\infty \\\lim_{x\to -4}\frac{x+2}{x(x+4)}=[\frac{-2}{0}]=\infty$
При х=0 и х=-4 функция имеет разрывы второго рода.
При х=2 функция не определена, и она имеет там разрыв первого рода, так как пределы слева и справа равны, а функция не определена в этой точке.