Question

Решить дан тетраэдр mnqp np=nq=7 см mn=3 корень из 2 угол мnp = euke mnq= 45 pq = 8 найти площадь треугольника mpq

Answer 1

По теореме косинусов найдем в треугольнике MNQ сторону MQ
$MQ^2=MN^2+NQ^2-2\cdot MN\cdot NQ\cdot cos 45\\\ MQ^2=(3\sqrt2)^2+7^2-2\cdot 3\sqrt2\cdot 7\cdot \frac{\sqrt2}{2}=18+49-42=25\\\ MQ=5$
По теореме косинусов найдем в треугольнике MNP сторону MP
$MP^2=MN^2+NP^2-2\cdot MN\cdot NP\cdot cos 45\\\ MP^2=(3\sqrt2)^2+7^2-2\cdot 3\sqrt2\cdot 7\cdot \frac{\sqrt2}{2}=18+49-42=25\\\ MP=5$
Значит треугольник MQP равнобедренный с основанием QP
Найдем высоту этого треугольника 
$h=\sqrt{MP^2-(\frac{1}{2}PQ)^2}\\\ h=\sqrt{5^2-(\frac{1}{2}\cdot 8)^2}=\sqrt{25-\frac{1}{4}\cdot 64}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$
 Тогда площадь треугольника MPQ
$S_{MPQ}=\frac{1}{2}PQ\cdot h\\\ S_{MPQ}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 3=4\cdot 3=12$