Question

Числа х,у,z таковы что х^2+3y^2+z^2=2 какое наибольшее целое значение может принимать выражение 2х+y-z.

Answer 1

Как вы сказали вам нужно любое решение этой задачи пока не придумал более школьного! 
Решение: Достаточно найти вообще наибольшее значение которое может принимать это выражение затем просто отсеить целое!  
$x^2+3y^2+z^2=2\\ z=\sqrt{2-x^2-3y^2}\\$

Теперь рассмотрим выражение $f(x;y;z)=2x+y-z$ как функцию! 
подставим в наше и получим уже функцию с двумя переменным 
$f(x;y)=2x+y-\sqrt{2-x^2-3y^2}\\$

Такую задачу решим как нахождение экстремума нескольких функций! 
Найдем частные производные 
$\frac{dz}{dx}=\frac{x}{\sqrt{-x^2-3y^2+2}}+2\\ \frac{dz}{dy}=\frac{3y}{\sqrt{-x^2-3y^2+2}}+1\\$

Теперь  решим систему и найдем  точки 
$\left \{ {{\frac{x}{\sqrt{-x^2-3y^2+2}}+2=0\\ } \atop \frac{3y}{\sqrt{-x^2-3y^2+2}}+1=0\\}} \right. \\ \\ zamena\\ \sqrt{-x^2-3y^2+2}=t\\ \\ \frac{x}{t}=-2\\ \frac{3y}{t}=-1\\ \\ \frac{x}{2}=3y\\ x=6y\\ \\$
потом подставим найдем х , и в итоге будет 6 точек ! 
основные такие две  $x=-\sqrt{\frac{3}{2}}\\ y=-\frac{1}{2\sqrt{6}}$

Теперь находя производные второго и третьего порядка , я сделал вычисления 
главное найти смешанное  производную 
$\frac{d^2z}{dxdy}=\frac{3xy}{(-x^2-3y^2+2)^{\frac{3}{2}}}$
Я уже проверил сходимость по формуле 
подставим наши значение и получим $\frac{4\sqrt{3}}{6}$