Question

Докажите , что при любом значении а верно неравенство 1) 3(а+1)+а-4(2+а)< 0 2) (7а-1)(7а+1)< 49а^2 3) 1+2а^4 ≧ а^2+2а докажите неравенство 1)х^2+2у^2+2ху+6у+10> 0

Answer 1

$3(a+1)+a-4(2+a)<0\\ 3a+3+a-8-4a<0\\ -5<0$
то есть при любых значениях а это справедливо так как -5<0  

$(7a-1)(7a+1)<49a^2\\ 49a^2-1<49a^2\\ -1<0$
верно! 

$1+2a^4 \geq a^2+2a\\ 1 \geq a^2+2a-2a^4$ 
Здесь парабола четвертой степени , можно доказать так , как как перед 2 стоит - то ее ветви направлены в низ , достаточно найти ее максимальное значение
Через производную 
$f(a)=a^2+2a-2a^4\\ f'(a)=16a^3+2a+2\\ 8a^3+a+1=0\\$
теперь решая получим неочень красивый корень , и подставляя ее в наше изначальное уравнение получим что f(a)<=1 

2)$x^2+2y^2+2xy+6y+10\\ x^2+2xy+y^2+y^2+6y+100\\ x^2+2xy+y^2+y^2+6y+9+10\\ (x+y)^2+(y+3)^2-1$
Так как квадраты НИКОГДА НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ТО ИХ СУММА ТОЖЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНА