Лежат ли точки А(-1;2;0), B(1;4;0), C(1;0;0) и Q(-2;2;1) в одной плоскости? Если нет, то каков объем тетраэдра QABC и его высота, опущенная из вершины Q? 5. Вычислить длину высоты, опущенной из вершины А1 параллелепипеда АВСДА1В1С1Д1 на его основание АВСД, если А(2; -1; -2), В(4; 1; 2), С(0; -2; -2) и А1(-2; 0; 3).
Формула сокращенного умножения (а+в)^2 выражение в квадрате, т.е. умножить само на себя два раза (а+в)^2=(а+b)*(a+b) умножить многочлен на многочлен, т.е. каждое слагаемое первого множителя умножаем на каждое слагаемое второго (а+в)^2=(а+b)*(a+b)=а*(a+b)+b*(a+b)= умножение одночлена на многочлен по распределительному закону (а+в)^2=(а+b)*(a+b)=а*(a+b)+b*(a+b)=a*a+a*b+a*b+b^2 приводим подобные слагаемые (а+в)^2=(а+b)*(a+b)=а*(a+b)+b*(a+b)=a*a+ a*b+a*b+b^2=a^2+2ab+b^2 (а+в)^2=a^2+2ab+b^2 -формула сокращенного умножения, запоминаем первое и последнее, пропуская выкладки
1) Боря берет конфеты по арифметической прогрессии: 1, 3, 5, ... a1(1) = 1; d1 = 2 Миша - тоже по арифметической прогрессии a2(1) = 2; d2 = 2 Всего Боря взял S1(n) = (2a1 + d(n-1))*n/2 = (2 + 2(n-1))*n/2 = (1 + n - 1)*n = n^2 = 60 7 < n < 8 Значит, n = 7, предпоследний раз Боря взял a1(7) = 1 + 2*6 = 13. И у Бори получилось S1(7) = 7^2 = 49 конфет. Но мы знаем, что всего он взял 60 конфет. Значит, в последний раз 11. Миша последний раз взял 14. Это тоже 7-ой раз. Всего Миша взял S2(7) = (2*2 + 2*6)*7/2 = 2*8*7/2 = 56 Всего конфет было 60 + 56 = 116
2) 231 = 3*7*11 На каждом этаже квартир больше 2, но меньше 7, то есть 3. Допустим, в доме 7 этажей. Тогда в одном подъезде 3*7 = 21 квартира. Квартира номер 42 - последняя во 2 подъезде. Квартир с номерами больше 42 во 2 подъезде нет. Значит, в доме 11 этажей. Тогда в одном подъезде 3*11 = 33 квартиры. Квартира номер 42 - последняя на 3 этаже.
4) Даны точки А(-1;2;0), B(1;4;0), C(1;0;0) и Q(-2;2;1).
Так как координаты точек А, В и С по оси OZ равны нулю, то все они лежат в одной плоскости xOy.
Находим площадь треугольника ABC:
S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 4 кв.ед.
Высота пирамиды равна расстоянию от точки Q до плоскости АВС, соответствему координате z = 1. То есть, Н = 1.
ответ: V = (1/3)SoH = (15/3)*4*1 = 4/3 куб.ед.
5) Даны вершины параллелепипеда АВСДА1В1С1Д1 :
А(2; -1; -2), В(4; 1; 2), С(0; -2; -2) и А1(-2; 0; 3).
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0.
Подставим данные и упростим выражение:
x – 2 y - (-1) z - (-2)
4 – 2 1 - (-1) 2 - (-2)
0 – 2 (-2) - (-1) (-2) - (-2) = 0
x – 2 y - (-1) z - (-2)
2 2 4
-2 -1 0 = 0
(x – 2)(2·0-4·(-1)) – (y - (-1))(2·0-4·(-2)) + (z - (-2))(2·(-1)-2·(-2)) = 0
4x - 2 + (-8)y - (-1) + 2z - (-2) = 0
4x - 8y + 2z - 12 = 0 после сокращения на 2 получаем:
2x - 4y + z - 6 = 0.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости
Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√(A² + B² + C²).
Подставим в формулу данные:
d = |2·(-2) + (-4)·0 + 1·3 + (-6)|/√(2² + (-4)² + 1²) = |-4 + 0 + 3 - 6|/√(4 + 16 + 1) =
= 7/√21 = √21/3 ≈ 1.527525.