Итак, мы получили дифференциальное уравнение вида 2u + 10ux - 3ux^2 - u'(3x^3) + 10 = 0. Такое уравнение можно решить численно или методом разделения переменных, если дано начальное условие. В итоге мы получаем истинное решение изначального дифференциального уравнения 3y´= y(2)/x^2+10 y/x+10 с учетом подстановки y=ux.
1. Предположим, что y = ux, где u - новая неизвестная функция.
2. Найдём значения y', y'' и подставим их в изначальное уравнение:
y' = u'x + u, y'' = u''x + 2u',
3(y'') + y = (u''x + 2u')(3) + ux = 3u''x + 6u' + ux = 3u''x + 6u' + ux^2 + 10ux + 10.
3. Теперь заменим y', y'' и само уравнение в исходном дифференциальном уравнении:
3y' = y(2)/x^2 + 10y/x + 10;
3(u'x + u) = (ux)(2)/x^2 + 10(ux)/x + 10;
3u'x + 3u = 2u/x + 10u + 10;
4. Перегруппируем полученное уравнение:
3u'x - 2u/x + 3u - 10u - 10 = 0;
5. Упростим выражение, разделив каждый член на x:
3u' - 2u/x^2 + 3u - 10u/x - 10/x = 0.
6. Вынесем коэффициент u':
u' = (2u/x^2 - 3u + 10u/x + 10/x) / 3.
7. Поделим выражение в числителе на x:
u' = (2u/x^3 - 3u/x + 10u/x^2 + 10/x^2) / 3.
8. Изменим порядок слагаемых в числителе:
u' = (2u/x^3 + 10u/x^2 - 3u/x + 10/x^2) / 3.
9. Найдем общий знаменатель в числителе:
u' = (2u + 10ux - 3ux^2 + 10) / (3x^3).
10. Разделим числитель на знаменатель:
u'(3x^3) = 2u + 10ux - 3ux^2 + 10.
11. Перенесем все члены с u влево:
2u + 10ux - 3ux^2 - u'(3x^3) + 10 = 0.
Итак, мы получили дифференциальное уравнение вида 2u + 10ux - 3ux^2 - u'(3x^3) + 10 = 0. Такое уравнение можно решить численно или методом разделения переменных, если дано начальное условие. В итоге мы получаем истинное решение изначального дифференциального уравнения 3y´= y(2)/x^2+10 y/x+10 с учетом подстановки y=ux.