Question

Как можно подробнее

Вычислить двойной интеграл в полярной системе координат

Answer 1

$\iint \limits _{D}\dfrac{2x-y}{x^2+y^2}\, dx\, dy=\Big[\ x=r\, cos\varphi \ ,\ y=r\, sin\varphi \ ,\ dx\, dy=r\, dr\, d\varphi \ ,\\\\\\x^2+y^2=r^2cos^2\varphi +r^2sin^2\varphi =r^2\ ,\ x^2+y^2=1\ \to \ r^2=1\ \to \ r=1\ ,\\\\\\2x-y=2rcos\varphi -rsin\varphi \ \Big]=\int \limits_{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits_{0}^1\dfrac{2rcos\varphi -rsin\varphi }{r^2}\cdot r\, dr=$

$=\int \limits_{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits_{0}^1\dfrac{2\, r\, cos\varphi -r\, sin\varphi }{r^2}\cdot r\, dr=\int \limits_{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits_{0}^1\dfrac{2cos\varphi -sin\varphi }{r}\cdot r\, dr=\\\\\\=\int \limits_{0}^{2\pi }(2cos\varphi -sin\varphi )\int \limits_{0}^{1}\, dr=\int \limits_{0}^{2\pi }(2cos\varphi -sin\varphi )\cdot r\Big|_0^1=\int \limits_{0}^{2\pi }(2cos\varphi -sin\varphi )\cdot 1\cdot d\varphi =$

$=\int \limits_{0}^{2\pi }(2cos\varphi -sin\varphi )\, d\varphi =(2sin\varphi +cos\varphi )\Big|_0^{2\pi }=\\\\\\=2sin2\pi +cos2\pi -(2sin0+cos\, 0)=2\cdot 0+1-(2\cdot 0+1)=1-1=0$