Гру́ппа в математике — множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём для этой операции имеется нейтральный элемент (аналог единицы для умножения), и каждый элемент множества имеет обратный. Ветвь общей алгебры, занимающаяся группами, называется теорией групп[1].
Один из примеров группы — множество целых чисел, снабжённое операцией сложения: сумма любых двух целых чисел также даёт целое число, роль нейтрального элемента играет ноль, а число с противоположным знаком является обратным элементом. Другие примеры — множество вещественных чисел с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат. Благодаря абстрактному определению группы через систему аксиом, не привязанной к специфике образующих множеств, в теории групп создан универсальный аппарат для изучения широкого класса математических объектов самого разнообразного происхождения с точки зрения общих свойств их структуры. Вездесущность групп в математике и за её пределами делает их важнейшей конструкцией в современной математике и её приложениях.
Группа фундаментально родственна понятию симметрии и является важным инструментом в изучении всех её проявлений. Например, группа симметрии отражает свойства геометрического объекта: она состоит из множества преобразований, оставляющих объект неизменным, и операции комбинирования двух таких преобразований, следующих друг за другом. Такие группы симметрии, как точечные группы симметрии понять явление молекулярной симметрии в химии; группа Пуанкаре характеризует симметрию физического пространства-времени, а специальные унитарные группы применяются в стандартной модели физики элементарных частиц[2].
Понятие группы ввёл Эварист Галуа, изучая многочлены в 1830-е годы[3].
Современная теория групп является активным разделом математики[4]. Один из наиболее впечатляющих результатов достигнут в классификации простых конечных групп, которая была завершена в 1981 году: доказательство теоремы составляет десятки тысяч страниц сотен научных статей более ста авторов, опубликованных с 1955 года, но статьи продолжают появляться из-за обнаруживаемых пробелов в доказательстве[5]. С середины 1980-х годов значительное развитие получила геометрическая теория групп, изучающая конечно-порождённые группы как геометрические объекты.
В решении.
Объяснение:
Вычислить:
1)(13-27)*3+25:(-5)= -47
а)13-27= -14;
б)-14*3= -42;
в)25:(-5)= -5;
г)-42-5= -47.
2)(3 и 2/7 + 1/14):(-47/56)= -4
а)3 и 2/7 + 1/14=
перевести в неправильную дробь:
=23/7+1/14=
общий знаменатель 14:
=(2*23+1)/14=
=47/14;
б)47/14:(-47/56)=
= -(47*56)/(14*47)=
сократить 47 и 47, 56 и 14 на 14:
= -4.
3)-2 и 1/2*(-1 и 3/5)-6 и 1/4:(-2 и 1/4)=6 и 7/9
а)-2 и 1/2*(-1 и 3/5)=
= -2,5*(-1,6)=4;
б)6 и 1/4:(-2 и 1/4)=
перевести в неправильные дроби:
=25/4 : (-9/4)
= - (25*4)/(4*9)=
= -25/9= -2 и 7/9;
в)4-(-2 и 7/9)=
=4+ 2 и 7/9=
=6 и 7/9
Упростить:
1)7х-4+(х-8)=
=7х-4+х-8=
=8х-12=4(2х-3);
2)3х-5-(2х-1)=
=3х-5-2х+1=
=х-4;
3)6(a+10b)+5(a-15b)=
=6a+60b+5a-75b=
=11a-15b;
4)-2(3х-2у)-4(-2х+3у)=
= -6х+4у+8х-12у=
=2х-8у=
=2(х-4у).
Решить уравнение:
15х+24=5х+28
15х-5х=28-24
10х=4
х=4/10
х=0,4
ответ: z ₁ = - 1 + 0 i = -1 ; z ₂,₃ = 1 ± 2 i .
Объяснение:
z² + 2̅z + 1 = 0 ;
шукаємо комплексні числа z у вигляді z = a + i b . Підставляємо z у
дане рівняння :
( a + i b )² + 2*( a - i b) + 1 = 0 ;
a² + 2ab i + ( i b)² + 2a - 2b i + 1 = 0 ;
a² + 2ab i - b² + 2a - 2b i + 1 = 0 ; групуємо дійсну і уявну частини :
( a² - b² + 2a + 1 ) + i ( 2ab - 2b ) = 0 ; права частина 0 , тому маємо
систему двох рівнянь для визначення a i b :
{ a² - b² + 2a + 1 = 0 ,
{ 2ab - 2b = 0 ;
{ ( a + 1 )² - b² = 0 ,
{ 2b( a - 1 ) = 0 .
Із ІІ рівняння маємо : 1) b = 0 або 2) a - 1 = 0 , тобто а = 1 .
1) якщо b = 0 , то із І рівняння ( a + 1 )² = 0 , тобто а = - 1 ;
2) якщо а = 1 , то із І рівняння b² = 4 ; b ₁,₂ = ± √ 4 = ± 2 .
Отже , ми знайшли такі з -и розв"язки : z ₁ = - 1 + 0 i = -1 ; z ₂,₃ = 1 ± 2 i .