Question

1. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными xyy' = 1-х^2 2. Найти частные производные функции (на фото продолжение)

Answer 1

1.

$xyy '= 1 - {x}^{2} \\ xy \times \frac{dy}{dx} = 1 - {x}^{2} \\ \int\limits \: ydy = \int\limits \frac{1 - {x}^{2} }{x} dx \\ \frac{ {y}^{2} }{2} = \int\limits( \frac{1}{x} - x)dx \\ \frac{ {y}^{2} }{2} = ln( |x| ) - \frac{ {x}^{2} }{2} + C\\ {y}^{2} = 2 ln( |x| ) - { {x}^{} }^{2} + C$

общее решение

2.

$z = \cos {}^{2} (xy) + y {}^{2} \sin(x + y)$

$z'_x = 2 \cos(xy) \times ( - \sin(xy)) \times y + {y}^{2} \cos(x + y) = \\ = - y \sin(2xy) + {y}^{2} \cos(x + y)$

$z'_y = 2 \cos(xy) \times ( - \sin(xy)) \times x + 2y \sin(x + y) + {y}^{2} \cos(x + y) = \\ = - x \sin(2xy) + 2y \sin(x + y) + {y}^{2} \cos(x + y)$