Question

Обчисліть площу фігури , обмеженої лініями:
у=корень из -х, у=2-х^2, х=1, у=0

Answer 1

$y=\sqrt{-x}\ \ ,\ \ y=2-x^2\ \ ,\ \ x=1\ \ ,\ \ y=0\\\\2-x^2=\sqrt{-x}\ \ ,\ \ \ (2-x^2)^2=-x\ \ ,\ \ 4-4x^2+x^4=-x\ \ ,\\\\x^4-4x^2+x+4=0\ \ ,\ \ (x+1)(x^3-x^2-3x+4)=0\ ,\ x=-1\\\\\displaystyle S=\int\limits_{-1}^0\, (2-x^2-\sqrt{-x})\, dx+\int\limits_0^1\, (2-x^2)\, dx=\\\\=\Big(2x-\frac{x^3}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{-x}\Big)\Big|_{-1}^0+\Big(2x-\frac{x^3}{3}\Big)\Big|_0^1=0-\Big(-2+\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\Big)+\Big(2-\frac{1}{3}\Big)=\\\\=2-1+2-\frac{1}{3}=3-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$