Question

найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x²-2x+3, касательной к графику в его точке с абсциссой 2 и прямой x=-1

Answer 1

Добрый день! Давайте разберемся вместе с этим вопросом.

Для начала, построим график функции y=x²-2x+3:

Для этого, мы можем использовать таблицу значений или рисовать оси координат и отмечать точки, чтобы найти значения функции. В данном случае, давайте воспользуемся таблицей значений.

|x | y |
|--|--|
|-3 | 12 |
|-2 | 9 |
|-1 | 8 |
|0 | 3 |
|1 | 2 |
|2 | 3 |
|3 | 6 |

Получится следующий график:

```
12|

10|

8| ●

6|
y 4|

2| ●

0|●
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
```

Теперь, давайте найдем точку касания графика с абсциссой 2.

Мы можем найти точку касания, найдя производную данной функции и приравняв ее к нулю.

Производная функции y=x²-2x+3 будет равна y'=2x-2.

Давайте найдем x, при котором y'=0:

0 = 2x - 2
2x = 2
x = 1

Таким образом, точка касания графика с абсциссой 2 будет (2, 3).

Теперь давайте посмотрим на прямую x=-1.

Она будет выглядеть следующим образом:

```
|-1 | 8 | Т.к. x=-1, то значение y будет равно 8, поскольку это совпадает с функцией.
```

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции, касательной и прямой, нам нужно найти точку пересечения между касательной и прямой.

Первая точка пересечения уже найдена - это (2, 3).

Теперь давайте найдем вторую точку пересечения.

Для этого, мы можем приравнять уравнение функции и уравнение прямой:

y = x²-2x+3
8 = x²-2x+3

Теперь решим это уравнение:

x²-2x+3-8=0
x²-2x-5=0

Теперь давайте воспользуемся квадратным корнем для решения этого уравнения:

x₁ = (-(-2) + √((-2)²-4(1)(-5)))/(2(1))
x₁ = (2 + √(4+20))/2
x₁ = (2 + √24)/2
x₁ = (2 + √(4*6))/2
x₁ = (2 + 2√6)/2
x₁ = 1 + √6

x₂ = (-(-2) - √((-2)²-4(1)(-5)))/(2(1))
x₂ = (2 - √24)/2
x₂ = (2 - √(4*6))/2
x₂ = (2 - 2√6)/2
x₂ = 1 - √6

Таким образом, вторая точка пересечения будет (1 + √6, 8) и (1 - √6, 8).

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции, касательной и прямой, нам нужно найти площадь треугольника, образованного этими точками.

Используя формулу площади треугольника, S = 1/2 * основание * высота, мы можем найти площадь этого треугольника.

Треугольник ABC:
основание AB = |(1 + √6) - (-1)| = 2 + √6 + 1 = 3 + √6

высота h = |8 - 3| = 5

Теперь, давайте вычислим площадь:

S = 1/2 * (AB) * h
S = 1/2 * (3 + √6) * 5
S = 2.5(3 + √6)
S = 7.5 + 2.5√6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции, касательной и прямой, равна 7.5 + 2.5√6.

Надеюсь, такой ответ будет понятен и полезен школьнику! Если у вас возникли еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их.