Question

Не очень понимаю, как решается ​

Answer 1

$A(-\frac{2}{3};-\frac{10}{3} )$

Наименьшее значение $-\frac{10}{3}$

Объяснение:

x + 2y - 1 = 0 ⇔ 2y = 1 - x ⇔ $y = \frac{1 - x}{2}$

Введем функцию $z =x^{2} +xy +y^{2} -3x + y$ и найдем её частные производные:

$z_{x} ^{'} = \frac{dz}{dx} \\z_{y} ^{'} = \frac{dz}{dy}$

$z_{x}^{'} = (x^{2} +xy +y^{2} -3x + y) ^{'}_x = (x^{2})^{'}_x + y(x)^{'}_x - 3(x)^{'}_x = 2x + y - 3$

$z_{y}^{'} = (x^{2} +xy +y^{2} -3x + y) ^{'}_y = x(y)^{'}_y + (y^{2}) ^{'}_y + (y)^{'}_y = x + 2y + 1$

$\left \{ {{z_{x}^{'} = 0} \atop {{z_{y}^{'} = 0}} \right.$$\left \{ {{2x + y - 3 = 0} \atop {x + 2y + 1=0|*2}} \right.$$\left \{ {{2x + y - 3 = 0} \atop {2x + 4y + 2=0}} \right.$$\left \{ {{2x=3 - y} \atop {2x=-4y - 2}} \right.$ ⇒ 3 - y = -4y - 2

3 - y = -4y - 2

3y = -5|:3

$y = -\frac{5}{3}$

$2x = 3 - y$ ⇒ $x = \frac{3 - y}{2} = \frac{\frac{3}{1} + \frac{5}{3} }{\frac{2}{1} } = \frac{\frac{14}{3} }{\frac{2}{1} } = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

$(\frac{7}{3} ;-\frac{5}{3} )$

Пусть координаты точки $M(\frac{7}{3};-\frac{5}{3} )$

Минимум функции достигается при $z_{min} = z(M)$

$z(M) = \frac{49}{9} - \frac{35}{9} + \frac{25}{9} - 3 *\frac{7}{3} - \frac{5}{3} = \frac{39}{9} - \frac{5}{3} - 7 = \frac{39 - 15}{9} - 7 = \frac{24 - 63}{9} =-\frac{13}{3}$

Проверим принадлежит ли точка M прямой $y = \frac{1 - x}{2}$

$y(\frac{7}{\\3} ) = \frac{1 - x}{2} = \frac{1 - \frac{7}{3} }{\frac{2}{1} } = \frac{-\frac{4}{3} }{\frac{2}{1} } = -\frac{- 2 * 2}{3 * 2} = -\frac{2}{3}$

Точка $x = \frac{7}{3}$ не принадлежит прямой $y = \frac{1 - x}{2}$ так как $-\frac{5}{2} \neq -\frac{2}{3}$

x + 2y - 1 = 0 ⇒ x = 1 - 2y

Введем функцию $f$ при этом x выразим через y так данная точка лежит на прямой x + 2y - 1 = 0 и на графике функции $z.$

$x^{2} +xy +y^{2} -3x + y = (1 - 2y)^{2} + (1 - 2y)y + y^{2} - 3(1 - 2y) + y = \\=1 - 4y + 4y^{2} +y^{2} + y - 2y^{2} - 3 + 6y + y = 3y^{2} + 4y - 2$

$f(y) = 3y^{2} + 4y - 2$

$f^{'}(y) = (3y^{2} + 4y - 2)^{'} = 6y + 4$

$f^{'}(y) = 0\\6y + 4 = 0\\6y = -4|:6\\y = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$

$min:f(-\frac{2}{3} ) = 3 * \frac{4}{9} - \frac{4 * 2}{3} - 2 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} - 2 = \frac{-4 - 6}{3} = -\frac{10}{3}$

Точка минимума функции $z$ которая принадлежит графику x + 2y - 1 = 0 это точка A с координатами $A(-\frac{2}{3};-\frac{10}{3} )$

Наименьшее значение $-\frac{10}{3}$