может ли произведение последовательных четырех натуральных чисел оканчиваться на 324? на 184? на 696?

👇

Ответ:

vaniaslavioglo

31.08.2021

Шанс получить в конце 324, 184 или 696 есть только в случае, когда ни одно из перемножаемых чисел не делится на 5 (иначе последняя цифра была бы нулем). Поэтому нужно проанализировать только произведение (5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4).

Сначала поставим несколько экспериментов.

$1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24;\ 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9=3024;\ 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14=24024; 16\cdot 17\cdot 18\cdot 19=93024.$

естественно выдвинуть гипотезу, что на конце такого произведения всегда будут цифры 024. Докажем ее.

$(5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4)=\left((5n+1)(5n+4)\right)\left((5n+2)(5n+3)\right)=$

=(25n^2+25n+4)(25n^2+25n+6)=(25n(n+1)+4)(25n(n+1)+6).

Поскольку n(n+1) является произведением двух соседних натуральных чисел, оно является четным числом: n(n+1)=2k, поэтому получившееся произведение можно записать в виде

(50k+4)(50k+6)=2500k^2+500k+24

Это доказывает, что две последние цифры - это 2 и 4, но мы замахнулись на более тонкий результат. Имеем:

2500k^2+500k=500k(5k+1).

Если k - четное число, то все произведение делится на 1000. Если k - нечетное число, 5k+1 - четное число, и снова все произведение делится на 1000.

Вывод: произведение последовательных натуральных чисел не может заканчиваться ни на 324, ни на 184, ни на 696.

Замечание. Если вопрос был бы только про 324, все это исследование не потребовалось бы, поскольку среди четырех последовательных чисел обязательно найдутся четное число и отличное от него число, делящееся на 4, поэтому их произведение обязательно делится на 8. А вот число, оканчивающееся на 324, на 8 не делится.

4,7(90 оценок)

Открыть все ответы

Ответ:

vladiktikhonov2

31.08.2021

Удобнее всего решать эту задачу, используя единицы измерения скорости – км/мин. А в конце все полученные результаты перевести в км/ч.

Пусть скорость медленного гонщика составляет

км/мин.

Раз быстрый гонщик обогнал впервые медленного через 48 минут, то с таким же успехом, мы можем переформулировать это утверждение и так: быстрый гонщик через 48 минут опережал медленного на 8 км (длину одного круга). А значит, их относительная скорость удаления составляет: 8 : 48 = 1/6

км/мин.

Из найденного следует, что скорость быстрого гонщика мы можем записать, как: ( x + 1/6 )

км/мин.

Сказано, что медленный гонщик ехал на 17 минут дольше, а значит, если мы вычтем из времени в пути медленного гонщика время в пути быстрого гонщика, то эта разность и должна составить 17 минут. Ясно, что время в пути для каждого гонщика мы можем найти, разделив полный путь трассы на скорость каждого из них, тогда:

$\frac{ 85 \cdot 8 }{x} - \frac{ 85 \cdot 8 }{ x + 1/6 } = 17 \ ;$

$\frac{ 85 \cdot 8 }{x} - \frac{ 85 \cdot 8 }{ x + 1/6 } = 17 \ ; \ \ \ || : 17$

$\frac{ 5 \cdot 8 }{x} - \frac{ 5 \cdot 8 }{ x + 1/6 } = 1 \ ;$

$\frac{ 5 \cdot 8 }{x} - \frac{ 5 \cdot 8 }{ x + 1/6 } = 1 \ ; \ \ \ || : 40$

$\frac{1}{x} - \frac{1}{ x + 1/6 } = \frac{1}{40} \ ;$

$\frac{ x + 1/6 }{ x ( x + 1/6 ) } - \frac{x}{ x ( x + 1/6 ) } = \frac{1}{40} \ ;$

$\frac{ ( x + 1/6 ) - x }{ x^2 + x/6 } = \frac{1}{40} \ ;$

$\frac{ x + 1/6 - x }{ x^2 + x/6 } = \frac{1}{40} \ ; \ \ \ || \cdot ( x^2 + x/6 )$

$\frac{1}{6} = \frac{ x^2 + x/6 }{40} \ ;$

$\frac{1}{6} = \frac{ x^2 + x/6 }{40} \ ; \ \ \ || \cdot 120$

$20 = 3 \cdot ( x^2 + x/6 ) \ ;$

$20 = 3 \cdot ( x^2 + x/6 ) \ ; \ \ \ || \cdot 2$

$40 = 6x^2 + x \ ;$

$6x^2 + x - 40 = 0 \ ;$

$D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-40) = 1 + 24 \cdot 40 = 1 + 960 = 900 + 61 = 30^2 + 30 + 31 = 31^2 \ ;$

$x \in \frac{ -1 \pm 31 }{ 2 \cdot 6 } \ ;$

Поскольку $x 0 \ ,$ так, как это скорость,
направленная в заданную сторону (вперёд), то:

$x = \frac{ -1 + 31 }{ 2 \cdot 6 } = \frac{30}{ 2 \cdot 6 } = \frac{15}{6} \ ;$

Это и есть скорость второго (медленного) гонщика.
Осталось только перевести её в км/ч:

15/6 км/мин = 15 км : 6 мин = 150 км : 60 мин = 150 км : час = 150 км/час.

О т в е т : 150 км.

4,8(74 оценок)

Ответ: