Question

Найдите сумму 1*2^1+2*2^2+3*2^3+...+9*2^9

Answer 1

Объяснение:

2+8+24+64+160+384+896+2048+4608=8194

∑n*2^n

Answer 2

$1\cdot 2^1+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\ldots +9\cdot 2^9=2(1\cdot 2^0+2\cdot 2^1+3\cdot 2^2+\ldots +9\cdot 2^8).$

Рассмотрим функцию $f(x)=1+x+x^2+x^3+\ldots +x^9=\frac{x^{10}-1}{x-1};$

$f'(x)=1\cdot x^0+2\cdot x^1+3\cdot x^2+\ldots + 9\cdot x^8=\frac{10x^9(x-1)-(x^{10}-1)\cdot 1}{(x-1)^2};$

$f'(2)=1\cdot 2^0+2\cdot 2^1+3\cdot 2^2+\ldots +9\cdot 2^8=\frac{10\cdot 2^9-2^{10}+1}{1}=5\cdot 2^{10}-2^{10}+1=4097,$

поэтому искомая сумма равна 8194.

Замечание. Мы воспользовались формулой суммы геометрической прогрессии

$b+bq+bq^2+\ldots + bq^{n-1}=\frac{b-bq^n}{1-q}=\frac{bq^n-b}{q-1}$ (если $q\not= 1$)