Question

Определите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма ее членов с нечетными номерами вдвое больше, чем сумма всех ее членов

Answer 1

Пусть $b_1$ - первый член данной прогрессии, а $q$ - ее знаменатель.

Тогда, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$S=\dfrac{b_1}{1-q}$

Рассмотрим члены этой прогрессии с нечетными номерами. Это также геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q^2$, причем геометрическая прогрессия бесконечно убывающая.

Сумма этой бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$S=\dfrac{b_1}{1-q^2}$

По условию эта сумма вдвое больше, чем предыдущая:

$\dfrac{b_1}{1-q^2}=2\cdot\dfrac{b_1}{1-q}$

$\dfrac{b_1}{(1-q)(1+q)}=\dfrac{2b_1}{1-q}$

$b_1(1-q)=2b_1(1-q)(1+q)$

Поскольку $b_1\neq 0$ и $q\neq 1$, то сократим:

$1=2(1+q)$

$1+q=\dfrac{1}{2}$

$q=-\dfrac{1}{2}$

ответ: -1/2