Question

Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения $log_{(x+6)} (2x^2*log_{2}(x+6)=log_2(3x^2+3x-8)$

Answer 1

x = 2

Объяснение:

$\log_{x+6}(2x^2+2)*\log_2(x+6)=\log_2(3x^2+3x-8)\\$

Область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x+60\\x+6\neq 1\\2x^2+20\\3x^2+3x-80 \end{cases}$

Находить конкретное множество допустимых значений x не будем (иначе пришлось бы оперировать иррациональными числами), а только проверим найденные корни на их принадлежность к этому множеству.

Перейдем к новому основанию, а именно 2, первого логарифма, воспользовавшись формулой

$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$

Имеем:

$\frac{\log_2(2x^2+2)}{\log_2(x+6)} *\log_2(x+6)=\log_2(3x^2+3x-8)\\\log_2(2x^2+2)=\log_2(3x^2+3x-8)\\2x^2+2=3x^2+3x-8\\3x^2-2x^2+3x-8-2=0\\x^2+3x-10=0$

По теореме Виета

$\begin{cases} x_1+x_2=-3\\x_1*x_2=-10 \end{cases}\\\begin{cases} x_1=-5\\x_2=2 \end{cases}$

Корень -5 является посторонним, поскольку при нем x+6 = -5+6 = 1, а согласно ОДЗ x+6 ≠ 1. Проверим корень 2:

$\begin{cases} 2+6=80 \; (ok)\\2+6=8\neq 1 \; (ok)\\2*2^2+2=100 \; (ok)\\3*2^2+3*2-8=100 \;(ok) \end{cases}$

Получили, что 2 — единственный корень заданного уравнения.