Question

. 30б. Найдите все значения параметра а

Answer 1

(см. объяснение)

Объяснение:

$(1+a^2)x^6+3a^2x^4+2(1-6a)x^3+3a^2x^2+a^2+1=0$

Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения.

Тогда поделим его на $x^3$:

$(1+a^2)x^3+3a^2x+2(1-6a)+\dfrac{3a^2}{x}+\dfrac{a^2+1}{x^3}=0$

Выполним группировку:

$(1+a^2)\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)+3a^2\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+2(1-6a)=0$

Заметим, что если $x$ - корень уравнения, то $\dfrac{1}{x}$ тоже.

Тогда единственное решение возможно, если $x=\dfrac{1}{x}$.

Иными словами, исходное уравнение может иметь ровно один корень тогда, когда $x=\pm1$.

Подставляя $x=1$ в исходное уравнение, получаем, что $\left[\begin{array}{c}a=1\\a=\dfrac{1}{2}\end{array}\right;$

Подставляя $x=-1$, получаем, что $\left[\begin{array}{c}a=0\\a=-\dfrac{3}{2}\end{array}\right;$

Теперь решим уравнение при каждом найденном значении параметра и отберем те, при которых имеется единственное решение.

Выполнив необходимые вычисления, получаем, что каждое значение параметра подходит.

Итого при $a=-\dfrac{3}{2},\;a=0,\;a=\dfrac{1}{2},\;a=1$ исходное уравнение имеет единственное решение.

Задание выполнено!