Question

Найти действительные корни уравнения
x6 - 33x4 + 6x3 + 297x2 – 729 = 0.

Answer 1

$\dfrac{-\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}\pm\sqrt{2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}+40}}{2}$

Объяснение:

x = 0 не является корнем уравнения (-729 ≠ 0). Значит, можно поделить на x³:

$x^3-33x+6+33\cdot \dfrac{9}{x}-\dfrac{729}{x^3}=0\\x^3-\dfrac{729}{x^3}-33\left(x-\dfrac{9}{x}\right)+6=0$

Пусть $x-\dfrac{9}{x}=t$. Тогда

$t^3=x^3-3x^2\cdot\dfrac{9}{x}+3x\cdot\dfrac{81}{x^2}-\dfrac{729}{x^3}=x^3-\dfrac{729}{x^3}-27\left(x-\dfrac{9}{x}\right)\\t^3=x^3-\dfrac{729}{x^3}-27t\\x^3-\dfrac{729}{x^3}=t^3+27t$

Выполним замену:

$t^3+27t-33t+6=0\\t^3-6t+6=0$

Представим t в виде суммы двух действительных чисел: t = b + c. Заметим, что

$(b+c)^3=b^3+3b^2c+3bc^2+c^3=b^3+c^3+3bc(b+c)\\t^3=b^3+c^3+3bct\\t^3-3bct-(b^3+c^3)=0$

При подстановке t = b + c мы действительно получим 0 (чтобы убедиться в этом, достаточно проделать действия в обратном порядке), то есть t = b + c является корнем такого уравнения. Попробуем найти такие b и c, чтобы при подстановке этих чисел в последнее уравнение коэффициент перед t был равен -6, а свободный коэффициент был равен 6. Так мы получим нужное уравнение, но заодно и найдём его корень:

$\displaystyle \left \{ {{-3bc=-6} \atop {-(b^3+c^3)=6}} \right. \left \{ {{bc=2} \atop {b^3+c^3=-6}} \right. \left \{ {{c=\frac{2}{b}} \atop {b^3+\frac{8}{b^3}+6=0}} \right.$

Решим второе уравнение. b ≠ 0, иначе это противоречило бы первому уравнению (0 ≠ 2). Домножим на b³ и сделаем замену b³ = z:

$z^2+6z+8=0$

По теореме Виета $\displaystyle \left \{ {{z_1+z_2=-6} \atop {z_1z_2=8}} \right.\Rightarrow z=-4; -2$

$\displaystyle \left [ {{b^3=-4} \atop {b^3=-2}} \right. \left [ {{b=-\sqrt[3]{4} } \atop {b=-\sqrt[3]{2} }} \right. \Rightarrow \left [ {{c=\dfrac{2}{-\sqrt[3]{4}}} \atop {c=\dfrac{2}{-\sqrt[3]{2}}} \right. \left [ {{c=-\sqrt[3]{2}} \atop {c=-\sqrt[3]{4}}} \right.$

В первом случае $t=-\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}$, во втором — $t=-\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}$. Они отличаются только перестановкой слагаемых, поэтому это один и тот же корень. Получаем:

$x-\dfrac{9}{x}=-\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}\\x^2+(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2})x-9=0\\D=(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2})^2+4\cdot 9=2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}+40\\x=\dfrac{-\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}\pm\sqrt{2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}+40}}{2}$