Question

Знайти область визначення функції

Answer 1

$1)\ \ y=\dfrac{\sqrt{2x-3}}{x^2-3x+2}\\\\\\\left\{\begin{array}{l}2x-3\geq 0\\x^2-3x+2\ne 0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x\geq 1,5\\x\ne 1\ ,\ x\ne 2\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x\in [\ 1,5\ ;2)\cup (\ 2\ ;+\infty \, )\\\\\\2)\ \ y=\dfrac{\sqrt{x^2-3x-4}}{x-4}$

$\left\{\begin{array}{l}x^2-3x-4\geq 0\\x-4\ne 0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}(x+1)(x-4)\geq 0\\x\ne 4\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x\in (-\infty ;-1\ ]\cup [\ 4\ ;+\infty )\\x\ne 4\end{array}\right\\\\\\x\in x\in (-\infty ;-1\ ]\cup (\ 4\ ;+\infty )$

$3)\ \ y=\dfrac{\sqrt{9-x^2}}{2x-1}\\\\\\\left\{\begin{array}{l}9-x^2\geq 0\\2x-1\ne 0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}(3-x)(3+x)\geq 0\\x\ne 0,5\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}(x-3)(3+x)\leq 0\\x\ne 0,5\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}x\in [-3\ ;\ 3\ ]\\x\ne 0,5\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x\in [-3\ ;0,5\ )\cup (\ 0,5\ ;\ 3\ ]$

$4)\ \ y=\dfrac{\sqrt{x^2-x-6}}{x-7}\\\\\\\left\{\begin{array}{l}x^2-x-6\geq 0\\x-7\ne 0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}(x+2)(x-3)\geq 0\\x\ne 7\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x\in (-\infty ;-2\ ]\cup [\ 3\ ;+\infty )\\x\ne 7\end{array}\right\\\\\\x\in (-\infty ;-2\ ]\cup [\ 3\ ;\ 7\ )\cup (\ 7\ ;+\infty )$

Answer 2

Методика знаходження області визначення для всіх функцій одна і та ж: потрібно виявити точки при яких функція не існує, а потім виключити їх з множини дійсних чисел R. В результати отримаємо набір проміжків чи інтервалів або точки, які і утворюють область визначення. У даному випадку необхідно використати лише наступні правила:

знаменник дробу не може дорівнювати;підкореневий вираз не може бути меншим 0.

$y=\frac{\sqrt{2x-3}}{x^{2} -3x+2} \\\\\left \{{2x-3\geq 0} \atop {x^{2} -3x+2\neq 0}} \right. \\\left \{ {{2x\geq 3} \atop {x\neq 2; x\neq 1}} \right. \\\left \{ {{x\geq 1,5} \atop {x\neq 2; x\neq 1}} \right. \\\\D=[1,5; 2)U(2;\infty)$

$\\y=\frac{\sqrt{x^2-3x-4}}{x-4}\\\left \{ {{x^2-3x-4\geq 0} \atop {x-4\neq 0}} \right. \\\left \{ {{(x-4)(x+1)\geq 0} \atop {x\neq 4}} \right. \\\\D=(-\infty; -1]U(4; \infty)$

$\\y=\frac{\sqrt{9-x^2}}{2x-1}\\\left \{ {{9-x^2\geq 0} \atop {2x-1\neq 0}} \right\\\left \{ {{(3-x)(3+x)\geq 0} \atop {2x\neq 1}} \right\\\left \{ {{(3-x)(3+x)\geq 0} \atop {x\neq 0,5}} \right\\D=[-3; 0,5)U(0,5; 3]$

$y=\frac{\sqrt{x^2-x-6} }{x-7} \\\left \{ {{x^2-x-6\geq 0} \atop {x-7\neq 0}} \right. \\\lef\{ {{(x+2)(x-3)\geq 0} \atop {x\neq 7}} \right. \\\\D=(-\infty; -2] U [3; 7) U (7;\infty)$