Question

а) Найдите наибольшее значение выражения. При каких значениях переменных оно достигается?

б) Найдите наименьшее значение выражения. При каких значениях переменных оно достигается?

​

$4b(5a - b) - (5a - 2)(5a + 2)$
$2ab - a {}^{2} - 2b {}^{2} + 4b$
$16 + 6a - a {}^{2}$
$a {}^{2} - 6a + 10$
$2a {}^{2} - 2ab + b {}^{2} - 2a + 2$

Answer 1

а) 4 при a = 2k, b = 5k; 4 при a = b = 2; 25 при a = 3;

б) 1 при a = 3; 1 при a = b = 1

Объяснение:

а) $4b(5a-b)-(5a-2)(5a+2)=20ab-4b^2-(25a^2-4)=\\=-4b^2+20ab-25a^2+4=-(5a-2b)^2+4\leq 4$

Наибольшее значение (4) достигается, когда $5a-2b=0\Leftrightarrow 5a=2b$, то есть подходят все пары вида a = 2k, b = 5k. Например, максимальное значение достигается при a = 2, b = 5.

$2ab-a^2-2b^2+4b=-a^2+2ab-b^2-b^2+4b-4+4=\\=-(a-b)^2-(b-2)^2+4\leq 4$

Наибольшее значение (4) достигается, когда $a-b=0\Leftrightarrow a=b$ и $b-2=0\Leftrightarrow b=2$, то есть при a = b = 2.

$16+6a-a^2=-a^2+6a-9+25=-(a-3)^2+25\leq 25$

Наибольшее значение (25) достигается, когда $a-3=0\Leftrightarrow a=3$.

б) $a^2-6a+10=a^2-6a+9+1=(a-3)^2+1\geq 1$

Наименьшее значение (1) достигается при $a-3=0\Leftrightarrow a=3$

$2a^2-2ab+b^2-2a+2=a^2-2ab+b^2+a^2-2a+1+1=\\(a-b)^2+(a-1)^2+1\geq 1$

Наименьшее значение (1) достигается, когда $a-b=0\Leftrightarrow a=b$ и $a-1=0\Leftrightarrow a=1$, то есть при a = b = 1.