Question

(x+3)^2+16=2|x+3|(|x-6|-|x-2)
решить)

Answer 1

______|______|______|______

          - 3            2           6

$1)x$

$2) \ -3\leq x$

$3) \ 2\leq x$

$4) \ x\geq6 \\\\(x+3)^{2}+16=2\cdot(x+3)\cdot[x-6-(x-2)]\\\\(x+3)^{2}+16=2\cdot(x+3)\cdot(x-6-x+2)\\\\(x+3)^{2}+16=2\cdot(x+3)\cdot(-4)\\\\x^{2}+6x+9+16=-8x-24\\\\x^{2} +14x+49=0\\\\(x+7)^{2}=0 \\\\x+7=0\\\\x=-7$

Answer 2

$x=-7; x=1$

Объяснение:

$(x+3)^2+16=2|x+3|(|x-6|-|x-2|)$  

Выделим в левой части полный квадрат. Для этого прибавим к обеим частям уравнения выражение $(|x-6|-|x-2|)^2$ и перенесем слагаемое $2\cdot |x+3|\cdot (|x-6|-|x-2|)$ в левую часть:

$|x+3|^2-2\cdot |x+3|\cdot (|x-6|-|x-2|)+(|x-6|-|x-2|)^2=(|x-6|-|x-2|)^2-16\\ (|x+3|-(|x-6|-|x-2|))^2=(|x-6|-|x-2|)^2-16\\ (|x+3|-(|x-6|-|x-2|))^2=x^2-12x+36-2(|x-6|\cdot |x-2|)+x^2-4x+4-16\\ (|x+3|-(|x-6|-|x-2|))^2=(2x^2-16x+24)-|2x^2-16x+24|\;\;\:\;\:\;\:\;(1)$

1) $2x^2-16x+24< 0\Leftrightarrow 2< x< 6$

Тогда $(1)$ примет вид

$(|x+3|-(|x-6|-|x-2|))^2=2\cdot (2x^2-16x+24)$

Левая часть неотрицательна. Правая часть, учитывая рассматриваемый интервал, строго отрицательна. Значит, корней на данном интервале нет.

2) $2x^2-16x+24\geq 0$

Возможны 2 случая:

2.1) $x\leq 2$

Тогда $(1)$ примет вид

$(|x+3|-(6-x-2+x))^2=0\\ (|x+3|-4)^2=0\\ |x+3|=4\\ x=1\;\:\;\:\;\:\;\:\;\:\;\:\;\:\;\:x=-7$

Оба корня принадлежат рассматриваемому интервалу, а значит являются корнями исходного уравнения.

2.2) $x\geq 6$

Тогда $(1)$ примет вид

$(x+3-(x-6-x+2))^2=0\\ (x+7)^2=0\\ x+7=0\\ x=-7$

То есть корень не принадлежит рассматриваемому интервалу.