Question

Найдите положительные корни уравнения : $\sqrt{x^{3}+2 }$ + x·$\sqrt{3}$ = $\sqrt{2x^{3}+6x^{2} +4 }$

Answer 1

$\sqrt{x^3 + 2} +x\sqrt{3} = \sqrt{2x^3 + 6x^2 + 4} \\\\\sqrt{x^3 + 2} +x\sqrt{3} =\sqrt{2} * \sqrt{x^3 + 3x^2 + 2} | : x \\\\\sqrt{(x^3 + 2):x^2} +x\sqrt{3} : x =\sqrt{2} * \sqrt{(x^3 + 3x^2 + 2) : x^2} \\\\\sqrt{x + \frac{2}{x^2} } +\sqrt{3} = \sqrt{2} *\sqrt{x+ \frac{2}{x^2}+3 }$

P.S мы можем занести икс под знак корня, если x > 0, а это сказано в условии( найти "положительные" корни)

Делаем очевидную замену x + 2/x^2 = t  :

$\sqrt{x + \frac{2}{x^2} } +\sqrt{3} = \sqrt{2} *\sqrt{x+ \frac{2}{x^2}+3 }\\\\\sqrt{t} + \sqrt{3} = \sqrt{2} * \sqrt{t+3}$

Возведем в квадрат обе части, так как они положительные :

$t + 2\sqrt{3t} + 3 = 2t + 6\\\\2\sqrt{3t} = t + 3$

По скольку x + 2/x^2>0 => t>0 => t+3> 0, мы можем еще раз возвести обе части в квадрат :

$12t = t^2 + 6t + 9\\\\t^2 - 6t + 9 = 0\\\\(t-3)^2 = 0\\\\t = 3$

Обратная замена :

$x + \frac{2}{x^2} = 3 | * x^2\\\\x^3 + 2 = 3x^2\\\\x^3 - 3x^2 + 2 = 0\\\\x^3 - 3x^2 + 3 - 1 = 0\\\\(x^3 - 1) - 3(x^2 - 1) = 0\\\\(x-1)(x^2 + x + 1) - 3(x-1)(x+1) = 0\\\\(x-1)(x^2+x+1- 3x - 3) = 0\\\\(x-1)(x^2-2x - 2) = 0$

[x - 1 = 0

[x^2 - 2x -2 = 0

-------

x1 = 1, x2 = 1+√3, x3 = 1-√3 < 0

ответ : 1, 1+√3

P.S при x>0 подкоренные выражения больше нуля, поэтому я ОДЗ не писал