Question

Приведите пример такого многочлена с целыми коэффициентами , что число $\sqrt[3]{3} +\sqrt[3]{9}$ является его корнем.

Answer 1

x³ - 9x - 12

Объяснение:

Пусть $x=\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}$. Тогда

$x^3=3+3\cdot \sqrt[3]{3}^2\cdot\sqrt[3]{9}+3\cdot \sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{9}^2+9\\x^3=12+3\cdot \sqrt[3]{27\cdot 3}+3\cdot\sqrt[3]{27\cdot 9}\\x^3=12+9\sqrt[3]{3}+9\sqrt[3]{9}\\x^3=12+9\cdot(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})\\x^3=12+9x\\x^3-9x-12=0$

При обратной замене левая часть действительно обратится в 0, так как все преобразования были равносильны. Значит, таким многочленом может быть x³ - 9x - 12.

Answer 2

Добрый день!
Для решения данной задачи, мы должны найти такой многочлен с целыми коэффициентами, чтобы число $\sqrt[3]{3} +\sqrt[3]{9}$ было его корнем. Для этого потребуется использовать знания о свойствах корней многочлена.

Во-первых, если корень $\sqrt[3]{3} +\sqrt[3]{9}$ является рациональным числом, то он будет иметь вид a/b, где a и b - целые числа без общих делителей. Однако, число $\sqrt[3]{3} +\sqrt[3]{9}$ - иррациональное, значит, мы должны искать многочлен с иррациональным корнем.

Во-вторых, если число является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то его сопряженное число (т.е. число, полученное заменой каждой иррациональной цифры на ее отрицательное значение) также будет являться его корнем. Это связано с тем, что многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональные корни только в случае, когда дробь имеет целый знаменатель (и, следовательно, иррациональный корень должен быть в двух взаимно противоположных значениях).

Теперь мы можем составить несколько шагов по поиску такого многочлена:

Шаг 1: Найдем корень $\sqrt[3]{3} +\sqrt[3]{9}$.
Для этого предлагаю выполнить некоторые преобразования:
$\sqrt[3]{3} +\sqrt[3]{9}$
$\sqrt[3]{3}(1 + \sqrt[3]{3})$
$3(1 + \sqrt[3]{3})$
$3 + 3\sqrt[3]{3}$

Шаг 2: Теперь, когда у нас есть корень $3 + 3\sqrt[3]{3}$, можно составить нужный нам многочлен.
Возьмем в качестве корня число $3 + 3\sqrt[3]{3}$. Для удобства дальнейших вычислений обозначим это число за x.

Теперь составим многочлен используя формулу разложения куба:

($3 + 3\sqrt[3]{3}$)^3 = 27 + 3*x^2 + 9*x

Раскроем скобку и упростим:

27 + 3*x^2 + 9*x = 27 + 9*x + 3*x^2

Полученный многочлен 3*x^2 + 9*x + 27 удовлетворяет условию задачи, так как его корнем является число $3 + 3\sqrt[3]{3}$.

Таким образом, искомым многочленом с целыми коэффициентами будет 3*x^2 + 9*x + 27.