Question

Докажите равенство $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...+\sqrt{2} } } } } =2cos\frac{\pi }{2^{n+1} }$
Все это равенство n радикалов

Answer 1

Объяснение:

Формула:

$\frac{1+cos2x}{2} =cos^{2}x$

$S(n)=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...+\sqrt{2} } } } }$

S(n) - n радикалов

Используем метод мат индукции

1) Покажем верность равенства при n=1, 2, 3

$S(1)=\sqrt{2}=2cos\frac{\pi }{4}=2cos\frac{\pi }{2^{2} }$

$S(2)=\sqrt{2+\sqrt{2} }=\sqrt{2+2cos\frac{\pi }{4} }=2\sqrt{\frac{1+cos\frac{\pi }{4}}{2} } =2\sqrt{cos^{2}\frac{\pi }{8} } =2cos\frac{\pi }{8}=2cos\frac{\pi }{2^{3} }$

$S(3)=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2} } }=\sqrt{2+2cos\frac{\pi }{8} }=2\sqrt{\frac{1+cos\frac{\pi }{8}}{2} } =2\sqrt{cos^{2}\frac{\pi }{16} } =2cos\frac{\pi }{16}=2cos\frac{\pi }{2^{4} }$

2) Предположим, что равенство верно при n=k

$S(k)=2cos\frac{\pi }{2^{k+1} }$

3) Покажем, , что равенство верно при n=k+1

$S(k+1)=\sqrt{2+S(k) }=\sqrt{2+2cos\frac{\pi }{2^{k+1} } }=2\sqrt{\frac{1+cos\frac{\pi }{2^{k+1} }}{2} } =2\sqrt{cos^{2}\frac{\pi }{2^{k+2} } } =2cos\frac{\pi }{2^{k+2}}$

Ч.т.д.