Question

прямая пересекает параболу y=x^2 в точке А(-1;1) и еще в некоторой точке В с положительной абсциссой. Известно, что площадь треугольника с вершинами в начале координат и точках А и В равна 10. Найдите координаты точки пересечения этой прямой с осью ординат. Мне надо решение, а ответ я знаю. ответ: (0;4)

Answer 1

(0;4)

Объяснение:

А(-1;1),  O(0;0),  B(t;t²), t>0

Обозначение {AB}-вектор AB

{OA}={-1;1}; {OB}={t;t²}

OA=|{OA}|=√((-1)²+1²)=√2

OB=|{OB}|=√(t²+(t²)²)=t√(t²+1)

{OA}·{OB}=|{OA}|·|{OB}|·cosAOB

{-1;1}·{t;t²}=√2·t√(t²+1)·cosAOB

-t+t²=√2·t√(t²+1)·cosAOB

t-1=√(2(t²+1))·cosAOB

cosAOB=(t-1)/√(2(t²+1))

sinAOB=√(1-cos²AOB)=√(1-((t-1)/√(2(t²+1)))²)=√(1-(t-1)²/(2(t²+1)))=(t+1)/√(2(t²+1))

S(AOB)=0,5OA·OB·sinAOB=0,5·√2·t√(t²+1)·(t+1)/√(2(t²+1)))=0,5t(t+1)=10

t²+t=20

t²+t-20=0

(t-4)(t+5)=0

t>0⇒t=4

B(4; 16)

Уравнение прямой проходящей через точки M(a;b) и N(c;d) задается формулой

(x-a)/(c-a)=(y-b)/(d-b)

Уравнение прямой проходящей через точки А(-1;1) и B(4; 16) задается формулой

(x+1)/(4+1)=(y-1)/(16-1)

(x+1)/5=(y-1)/15

y-1=3(x+1)

y=3x+4

Координаты точки пересечения этой прямой с осью ординат C(o;y)

y=3·0+4=4

C(0;4)