Question

Решить относительно x уравнение

$\sqrt{x} * \sqrt{x+2} =a-1$

Answer 1

$\sqrt{x} \cdot \sqrt{x+2} =a-1$

Так как в уравнении есть квадратные корни, то запишем ОДЗ:

$\begin{cases} x \geqslant 0\\ x+2\geqslant 0 \end{cases}\Rightarrow x\geqslant 0$

Также заметим, что в левой части записано произведение двух неотрицательных выражений. Значит, правая часть уравнения также неотрицательна:

$a-1\geqslant 0$

$a\geqslant 1$

Таким образом, при $a$ уравнение не имеет корней.

Предположим, что $a\geqslant 1$. Тогда:

$(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x+2})^2 =(a-1)^2$

$x(x+2) =(a-1)^2$

$x^2+2x -(a-1)^2=0$

$D_1=1^2-1\cdot(-(a-1)^2)=1+(a-1)^2$

$x=-1\pm\sqrt{1+(a-1)^2}$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ.

Для первого корня получим:

$-1-\sqrt{1+(a-1)^2}\geqslant 0$

$-\sqrt{1+(a-1)^2}\geqslant 1$

$\sqrt{1+(a-1)^2}\leqslant- 1$

Однако, квадратный корень не может принимать отрицательных значений. Значит, рассматриваемое выражение не является корнем уравнения ни при каких значениях параметра $a$.

Для второго корня получим:

$-1+\sqrt{1+(a-1)^2}\geqslant 0$

$\sqrt{1+(a-1)^2}\geqslant 1$

$1+(a-1)^2\geqslant 1$

$(a-1)^2\geqslant 0$

Последнее условие выполняется при любых значениях параметра $a$. Но как отмечалось ранее, уравнение может иметь корни только при $a\geqslant 1$. Значит, данное выражение является корнем уравнения при $a\geqslant 1$.

при $a$: нет корней,

при $a\geqslant 1$: $x=-1+\sqrt{1+(a-1)^2}$