Question

Хелп,товарищи,знатоки)) задача из раздела тем (дифференциальное и интегральное исчисление)
Учитывая функцию f(x)=$x^{2} e^{x}$
А. Найдите крайние точки и экстремальные значения функции в сечении [-3;1]
Б. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке x= -1

Answer 1

Объяснение:

$f(x)=x^2e^x$

Крайние точки: $f(-3)=(-3)^2e^{-3}=\frac{9}{e^3}\approx 0.448$ и $f(1)=1^2e^1=e\approx2.718$

Производная функции $f^{\prime}(x)=(x^2e^x)^\prime=(x^2)^\prime e^x+x^2(e^x)^\prime=2xe^x+x^2e^x=(x+2)xe^x$

Экстремальные значения: при $f^\prime(x)=0$, $(x+2)xe^x=0$. Значит, или $x+2=0$, $x=-2$, или $x=0$, или $e^x=0$ - недостижимо. Значения функции соответственно $(-2)^2e^{-2}=\frac{4}{e^2}\approx 0.514$ и $0^2e^0=0$

Уравнение касательной $y = f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)$. При $x_0=-1$$y=(-1)^2e^{-1}+(-1+2)*-1*e^{-1}*(x+1)=\frac{1}{e}-\frac{1}{e}(x+1)=-\frac{x}{e}$