Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Дано: ABCD, AD║ BC, AD = BC.
Доказать: ABCD - параллелограмм.
Доказательство:
Проведем BD.
ВС = AD по условию,
∠1 = ∠2 как накрест лежащие при пересечении AD║BC секущей BD,
BD - общая сторона для треугольников ABD и CDB, ⇒
ΔABD = ΔCDB по двум сторонам и углу между ними.
Из равенства треугольников следует, что
∠3 = ∠4, а это накрест лежащие углы при пересечении прямых CD и АВ секущей BD, значит
CD║AB.
Если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны, то это параллелограмм.
2 признак.
Если в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Дано: ABCD, AB = CD, BC = AD.
Доказать: ABCD - параллелограмм.
Доказательство:
Проведем BD.
ВС = AD по условию,
AB = CD по условию,
BD - общая сторона для треугольников ABD и CDB, ⇒
ΔABD = ΔCDB по трем сторонам.
Из равенства треугольников следует, что
∠1 = ∠2, а это накрест лежащие углы при пересечении прямых ВС и AD секущей BD, значит ВС║AD и ABCD - параллелограмм по первому признаку.
3 признак.
Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Дано: ABCD, AC∩BD = O, AO = OC, BO = OD.
Доказать: ABCD - параллелограмм.
Доказательство:
AO = OC по условию,
BO = OD по условию,
∠АОВ = ∠COD как вертикальные, ⇒
ΔАОВ = ΔCOD по двум сторонам и углу между ними.
Значит, AB = CD и ∠1 = ∠2, а это накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и CD секущей АС, значит АВ║CD.
ABCD - параллелограмм по первому признаку.
1)V(x+9) =x-3
ОДЗ:
{x+9>=0; x>=-9
{x-3>=0; x>=3
Решение ОДЗ: x>=3
Т.к. обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат:
x+9= (x-3)^2
x+9= x^2-6x+9
x+9-x^2+6x-9=0
-x^2+7x=0
x^2-7x=0
x(x-7)=0
x=0; x=7
x=0 нам не подходит по ОДЗ
ответ:{7}
2)V(x-2)= V(x^2-4)
ОДЗ:
{x-2>=0; x>=2
{x^2-4>=0; x<=-2, x>=2
Решение ОДЗ: x>=2
Возведем в квадрат обе части:
x-2=x^2-4
x-2-x^2+4=0
-x^2+x+2=0
x^2-x-2=0
D=(-1)^2-4*1*(-2)=9
x1=(1-3)/2=-1 - не подходит по ОДЗ
x2=(1+3)/2=2
ответ:{2}
3)V(12+x^2) <6-x
В левой части неравенства стоит корень,принимающий только неотрицательные значения. Следовательно, и правая часть должна быть положительной.
ОДЗ:
{12+x^2>=0 при x e R
{6-x>0, x<6
Решение ОДЗ: x<6
Возведем в квадрат обе части:
12+x^2<(6-x)^2
12+x^2<36-12x+x^2
12+x^2-36+12x-x^2<0
12x-24<0
12x<24
x<2
С учетом ОДЗ: x <2