Question

Заполните пропуски в тексте так, чтобы получилось верное решение. Задача. По кругу сидят 20 мальчиков и 20 девочек. Докажите, что можно выбрать 20 школьников подряд, среди которых мальчиков и девочек поровну.

Решение. Пронумеруем всех детей по часовой стрелке от 1 до 40. Рассмотрим следующие группы детей:

группа №1: дети с номерами 1,2,3,…,20;
группа №2: дети с номерами 2,3,4,…,21;
…
группа №39: дети с номерами 39,40,1,…,18;
группа №40: дети с номерами 40,1,2,…,19.
Пусть aₙ — количество девочек в группе №n, bₙ — мальчиков в группе №n. Определим последовательность cₙ формулой
aₙ-bₙ /40-aₙ-bₙ/aₙ+bₙ/20-aₙ/20-bₙ

Если c(k)=0 для некоторого k, то k-я группа школьников подходит.

Количество мальчиков и количество девочек в одной группе всегда имеют одну чётность, поэтому все члены последовательности
cₙ являются чётными/нечетными.
Нетрудно понять, что если cn≠cn+1, то |cn−cn+1|= ?

Заметим, что сумма c₁ и c₄₀/c₂/c₂₀/c₂₁ равна разности количества мальчиков и девочек во всём кругу, то есть равна нулю. Таким образом, либо оба члена последовательности равны 0, либо они разных знаков. Тогда найдётся k, для которого c(k)=0.